1、第九章 平面解析几何 第六节 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识梳 理 诊 断 1双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对 值 为 常 数(小 于|F1F2|且 不 等 于 零)的 点 的 轨 迹 叫做这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线焦点焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a、c为常数且 a0，c0；(1)当时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当时，P 点的轨迹是两条；(3)当时，P 点不存在ac射线2双曲线
2、的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形范围x或 x，yRxR，y或 y对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx性质离心率eca，e，其中 ca2b2a-a-aa(1，)性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2(ca0，cb0)a2b21判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点 F1(
3、0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)方 程 x2m y2n 1(mn0)表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲线()(3)双曲线方程 x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2m2y2n20，即 xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()(5)若 直 线 与 双 曲 线 交 于 一 点，则 直 线 与 双 曲 线 相切()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016湖南桃江第一中学第三次月考)已知双曲线 x2my21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则实数 m 的值是()A4B.14C14D4解析 双曲线的方程
4、化为 x2 y21m1，虚轴长为21m，实轴长为 2，21m22，解得 m14.答案 C3(2015安徽卷)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y24 1B.x24 y21C.y24 x21Dy2x24 1解析 A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令y24 x20，得 y2x，令y2x24 0，得 y12x，故选 C.答案 C4(2016厦门质检)若双曲线 y2x21(0)经过点 1，52，则该双曲线的离心率为()A.2B2 C.5D3解析 因为双曲线 y2x21(0)经过点 1，52，所以541，解得 14，所以双
5、曲线方程为 y2x24 1，则 a21，b24，c25，则 eca 5，故选 C.答案 C5已知 F1、F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是()A.2xy0Bx 2y0Cx2y0D2xy0解析 由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2 中，|F1F2|2c，而 ca，所以|PF2|1，故 e 5.答案 5考 点题 型 突 破 考点一 双曲线的定
6、义及标准方程互动型 (1)(2016天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为()A.x24 y21Bx2y24 1C.3x220 3y25 1D.3x25 3y220 1(2)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2()A.14B.35C.34D.45解析(1)由焦距 2c2 5，得 c 5，又由题意得ba12，则 a2b，且 a2b2c2，解得 b21，a24，所以双曲线的方程为x24 y21.(2)由双曲线的定义有|PF1|
7、PF2|PF2|2a2 2，|PF1|2|PF2|4 2，则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|4 222 224224 22 234.选 C.答案(1)A(2)C拓展探究 本例(2)中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“PF1 PF2 0”，则F1PF2 的面积是多少？解析 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 2，由于PF1 PF2 0，所以PF1 PF2.所以在F1PF2 中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以 SF1PF212|PF1|PF2|2.答案
8、2(1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系(2)求双曲线标准方程的一般方法待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值1已知圆 C：(x3)2y24，定点 A(3,0)，则过定点A
9、 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为_解析 设动圆 M 的半径为 R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a1，c3，b28，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2y28 1(x1)答案 x2y28 1(x1)2(2015新课标全国卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_解析 解法一：双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点(4，3)，164(3)24，双曲线的标准方程为x24 y21.解法二：渐近线 y12x 过点(4,2)，而
10、30，b0)由已知条件可得ba12，16a2 3b21，解得a24，b21，双曲线的标准方程为x24 y21.答案 x24 y21考点二 双曲线的几何性质共研型 角度 1：双曲线的离心率(1)(2017广西桂林中学月考)已知双曲线 kx2y21(k0)的一条渐近线与直线 2xy30 垂直，则双曲线的离心率是()A.52B.32C4 3D.5(2)(2016山东卷)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_解析(1)双曲线 kx2y21(k0)的一条渐近线与直线 2
11、xy30 垂直，双曲线的一条渐近线的斜率为12.又双曲线的渐近线方程为 y kx，k12，k14，则双曲线的方程为x24 y21.可得 a2，c 5，双曲线的离心率 eca 52.故选 A.(2)由题意知 AB 与 x 轴垂直，不妨令 xAc，xCc.将 xc 代入x2a2y2b21，得 yb2a.取 Ac，b2a，Bc，b2a，Cc，b2a，Dc，b2a，故|AB|2b2a，|BC|2c.由 2|AB|3|BC|知4b2a 6c，即 2b23ac.又 b2c2a2，则 2c22a23ac0，两边同除以 a2 得2e23e20，解得 e2.答案(1)A(2)2角度 2：双曲线的渐近线(1)(2
12、016安徽合肥质检)若双曲线 C1：x22 y28 1 与 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 C2 的焦距为 4 5，则 b()A2B4C6D8(2)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0解析(1)由题意得，ba2b2a，C2 的焦距 2c4 5ca2b22 5b4，故选 B.(2)设 PF1 的中点为 M，由|PF2|F1F2|，故 F2MPF1，即|F
13、2M|2a，在 RtF1F2M 中，|F1M|2c22a22b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义 4b2c2a，即 2bac，即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a，故双曲线的渐近线方程是 ybax，即 4x3y0.答案(1)B(2)C与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程1角度 1(2017甘肃天水一中第三次月考)过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线
14、的垂线，交双曲线于 A，B 两点，设双曲线的左顶点 M，若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率 e 的取值范围为()A.32，B.1，32C(2，)D(1,2)解析 设双曲线的方程为x2a2y2b21(ab0)，则直线 AB的方程为 xc，其中 ca2b2.设 A(c，y0)，B(c，y0)，则c2a2y20b21，解得 y0b2a，|AF|b2a.双曲线的左顶点 M(a,0)在以 AB 为直径的圆内部，|MF|AF|，即 acb2a.将 b2c2a2 代入，并化简整理，得 2a2acc20，解得 e2(舍去负值)，故选 C.答案 C2角度 2(2015重庆卷)设双曲线x2
15、a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_解析 由题设易知 A1(a,0)，A2(a,0)，B c，b2a，Cc，b2a.A1BA2C，b2acab2aca1，整理得 ab.渐近线方程为 ybax，即 yx，渐近线的斜率为1.答案 1考点三 直线与双曲线的位置关系互动型 若双曲线 E：x2a2y21(a0)的离心率等于 2，直线 ykx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|AB|6 3，求 k 的值解(1)由ca 2，a2c
16、21得a21，c22，故双曲线 E 的方程为 x2y21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，x2y21，得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于 A，B 两点，故k1，2k241k220，即k1，2k 2，所以 1k 2.故 k 的取值范围为(1，2)(2)由得 x1x2 2kk21，x1x22k21，|AB|1k2x1x224x1x221k22k2k2126 3，整理得 28k455k2250，k257或 k254.又 1k2，eca14 5.答案 C2已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB
17、 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为_解析 设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由题意知 c3，a2b29，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得y1y2x1x2b2x1x2a2y1y212b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以将 4b25a2 代入 a2b29 得 a24，b25.所以双曲线的标准方程是x24 y25 1.答案 x24 y25 1课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0，
18、b0)共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，x2a2y2b21(a0，b0)与y2b2x2a21(a0，b0)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距4过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.名 师微 课 导 学 课题 49：方程思想在求离心率问题中的应用名师导学：求解椭圆、双曲线的离心率(或范围)的方法通常是根据条件列出关于 a，c 的齐次方程(或
19、不等式)，然后再转化成关于 e 的方程(或不等式)求解(2016沈阳四校联考)设双曲线x2a2y2b21(0ab)的半焦距为 c，直线 l 过(a,0)、(0，b)两点已知原点到直线l 的距离为 34 c，则双曲线的离心率为_切入点 由原点到直线 l 的距离，列出关于 a，b，c 的方程关键点 解方程及隐含条件 0ab 的挖掘解析 由已知，得直线 l 的方程为 aybxab0，因为原点到直线 l 的距离为 34 c，所以aba2b2 34 c，又 c2a2b2，所以 4ab 3c2，两边平方，得 16a2b23c4，即 16a2(c2a2)3c4，两边同除以 a4，并整理，得 3e416e21
20、60，所以 e24 或 e243.由 0a2，所以e24.故 e2.答案 2利用方程思想求离心率步骤 1(2015新课标全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为()A.5B2 C.3D.2解析(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，不妨设点 M 在第一象限，则 ABBM2a，MBA120，作MHx 轴于 H，则MBH60，BHa，MH 3a，所以M(2a，3a)将点 M 的坐标代入双曲线方程x2a2y2b21，得 ab，所以 e 2.故选 D.答案 D2(2016湖南五市十校教研教改共同体联考)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与直线 xa2c 分别交于 A，B两点，F 为该双曲线的右焦点若 60AFB90，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，2)B(2，2)C(1,2)D(2，)解析 双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线方程为 ybax.当 xa2c 时，yabc，Aa2c，abc，Ba2c，abc.60AFB90，33 kFB1，即 33 abcca2c1.33 ab1，13a2c2a21，1e213，2e2.故选 B.答案 B请做：课时跟踪训练（四十九）