1、数学 第3节 椭 圆 数学 最新考纲 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对 称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.椭圆的定义中,为何有常数2a大于|F1F2|的限制?提示:当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2;当2a|F1F2|时动点的轨迹是椭圆.数学 提示:该方程化为标准方程的形式为21xA+21yB=1.故方程表示焦点在 x 轴上的椭圆的充要条件为 1A 1B 0,即 BA0;方程表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件为 1B 1A 0,即 AB
2、0;方程表示椭圆的充要条件为10,10,11,ABAB即0,0,.ABAB 2.方程Ax2+By2=1(AB0)表示椭圆的充要条件是什么?数学 3.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?提示:离心率 e=ca 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b=22ac就越小,椭圆就越扁平;同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆.数学 知识梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 .和 焦点 焦距 2.椭圆的标准方程及其简单几何性质 数学 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
3、标准 方程 22xa+22yb=1(ab0)22ya+22xb=1(ab0)图形 范围|x|a;|y|b|x|b;|y|a 对称性 曲线关于 对称 曲线关于 对称 顶点 长轴顶点(a,0)短轴顶点(0,b)长轴顶点(0,a)短轴顶点(b,0)轴 长轴长 短轴长 焦点(c,0)(0,c)焦距|F1F2|=2c 离心率 e=ca a,b,c 的关系 c2=a2-b2 x轴、y轴、原点 x轴、y轴、原点 2a 2b (0,1)数学 2.椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜边长,a2=b2+c2.3.已知过焦点F1的弦AB,则ABF2的周长为4a.4.若P为椭圆上任意一点,F
4、为其焦点,则a-c|PF|a+c.【重要结论】1.设椭圆22xa+22yb=1(ab0)上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b,这时,P 在短轴端点处;当 x=a 时,|OP|有最大值 a,这时,P 在长轴端点处.数学 夯基自测 1.(2015 江门礼乐中学第一次调研)已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为F(0,1),离心率为 12,则 C 的方程是()(A)24x+23y=1(B)24x+23y=1(C)24x+22y=1(D)23x+24y=1 D 解析:由已知得 c=1,e=ca=12,所以 a=2,所以 b2=a2-c2=3.又椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭
5、圆的方程为23x+24y=1.数学 2.(2015 高考广东卷)已知椭圆225x+22ym=1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m 等于()(A)2(B)3(C)4(D)9 B 解析:由 4=225m(m0)m=3,故选 B.数学 3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1,B2,焦点为 F1,F 2,若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则这个椭圆的离心率 e 等于()(A)22 (B)12 (C)32 (D)33 A 解析:如图所示,由于四边形 B1F1B2F2 是正方形,则OB1F2 是等腰直角三角形.法一 由于|OF2|=c,|B1F2|=a,OF2B1=45,所以椭圆的离心率
6、e=ca=212|OFB F=cosOF2B1=cos 45=22.故选 A.法二 由于|OB1|=|OF2|,所以 b=c,所以 b2=c2,所以 a2-b2=a2-c2=c2,所以 a2=2c2,所以 ca=22.故选 A.数学 4.已知 F1,F2 是椭圆24x+23y=1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B两点,则F1AB 的周长为 .解析:由已知可得F1AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.答案:8 数学 5.直线 x-2y+2=0 过椭圆22xa+22yb=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B,则椭圆的方程为 .解析:直线 x-2
7、y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故 c=2.直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故 b=1.故 a2=b2+c2=5,椭圆方程为25x+y2=1.答案:25x+y2=1 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 椭圆的定义及标准方程【例 1】(1)已知动圆 M 过定点 A(-3,0)并且与定圆 B:(x-3)2+y2=64 相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为()(A)216x+27y=1(B)27x+216y=1 (C)216x-27y=1(D)27x-216y=1 解析:(1)因为点 A 在圆 B 内,所以过点 A 的圆与圆
8、 B 只能内切,因为 B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8|AB|,所以动点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22xa+22yb=1,又 a=4,c=3,b2=7,所以方程为216x+27y=1.故选 A.答案:(1)A 数学(2)(2014 高考辽宁卷)已知椭圆 C:29x+24y=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=.解析:(2)设 MN 的中点为 P,连接 F1P 和 F2P(其中 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点),利用中位
9、线定理可得|AN|+|BN|=2|F1P|+2|F2P|=22a=4a=12.答案:(2)12 数学(3)已知 F1,F2 是椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 1PF 2PF.若PF1F2 的面积为 9,则 b=.答案:(3)3 解析:(3)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,1PF 2PF,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,所以 2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2.所以|PF1|PF 2|=2b2,所以1 2PF FS=12|PF1|PF2|=1
10、2 2b2=b2=9.所以 b=3.数学 反思归纳 (1)椭圆定义的应用范围 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.解决与焦点有关的距离问题.(2)焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利于定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等.(3)求椭圆方程的方法 定义法,根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.待定系数法.数学【即时训练】(2016 本溪模拟)椭圆225x+216y=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,弦AB 过 F1,若ABF2 的内切圆周长为,A,B 两点的坐标分别为(x1,
11、y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 .解析:由225x+216y=1,得 a=5,b=4,所以 c=3.左、右焦点分别为 F1(-3,0),F2(3,0).因为ABF2 的内切圆周长为,则内切圆半径 r=12,所以2ABFS=1 2AF FS+1 2BF FS=12|y1|F1F2|+12|y2|F1F2|=12|F1F 2|y2-y1|=3|y2-y1|.又2ABFS=12 r(|AB|+|BF2|+|F2A|)=12 12 4a=5 所以 3|y2-y1|=5,所以|y2-y1|=53.答案:53 数学 考点二 椭圆的几何性质【例 2】(1)(2015 广州二模)设 F1,F2
12、 分别是椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,PF1F2=30,则椭圆的离心率为()(A)33 (B)36(C)13 (D)16 解析:(1)如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2.因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为PF1F2 的中位线.所以 OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90.因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F 2|=2212|PFPF=3|PF2|,由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=13|2PF,2c=|F1F2|=3|PF
13、2|c=23|2PF.则 e=ca=23|2PF223|PF=33,故选 A.数学(2)(2015 高考福建卷)已知椭圆 E:22xa+22yb=1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 45,则椭圆 E 的离心率的取值范围是()(A)3(0,2(B)3(0,4 (C)3,1)2(D)3,1)4 解析:(2)设椭圆的左焦点为 F1,半焦距为 c,连接 AF1,BF1,则四边形 AF1BF 为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|A
14、F1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以 8=4a,解得 a=2.因为点 M 到直线 l:3x-4y=0 的距离不小于 45,即 45b 45,b1,所以 b21,所以 a2-c21,4-c21,解得 0c3,所以 0b0),有-axa,-byb,0e1 等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值或最小值时,经常用到这些不等 关系.(2)求椭圆离心率的方法 直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.数学【即时训练】(1)已知 P 在椭圆24x+y2=1 上,A(0
15、,4),则|PA|的最大值为()(A)2183(B)763 (C)5 (D)25 解析:(1)设 P(x,y),则由题意得24x+y2=1,故 x2=4(1-y2).所以|PA|2=x2+(y-4)2=4(1-y2)+y2-8y+16=-3y2-8y+20=-3(y2+83 y)+20=-3(y+43)2+763 又因为-1y1,所以当 y=-1 时|PA|2 取得最大值 25,即|PA|的最大值为 5.故选 C.数学(2)设 e 是椭圆24x+2yk=1 的离心率,且 e(12,1),则实数 k 的取值范围是()(A)(0,3)(B)(3,163)(C)(0,3)(163,+)(D)(0,2
16、)解析:(2)当 0k4 时,e=ca=42k(12,1),即 1242k1 14-k4,即 0k3;当 4k 时,e=ca=4kk(12,1),即 14 4kk1 14 1-4k 1 0 4k 163.故选 C.数学 直线与椭圆的位置关系(高频考点)考点三 考查角度 1:由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质.高考扫描:2014 高考新课标全国卷,2012 高考新课标全国卷【例 3】(2014 高考新课标全国卷)设 F1,F2 分别是椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN
17、 的斜率为 34,求 C 的离心率;解:(1)根据 c=22ab及题设知 M(c,2ba),2b2=3ac.将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得 ca=12,ca=-2(舍去).故 C 的离心率为 12.数学(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.解：(2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故2ba=4,即 b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设 N(x1,y1),由题意知 y10直线与椭圆相交;(2)=0直线与椭圆相切
18、;(3)b0),因为抛物线 y2=-4x 的焦点是(-1,0),所以 c=1.又 ca=12,所以 a=2,b=22ac=3,所以所求椭圆 E 的方程为24x+23y=1.数学(2)若在椭圆22xa+22yb=1(ab0)上的点(x0,y0)处的切线方程是02x xa+02y yb=1,求证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标.(2)证明:设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 M 的坐标为(4,t),则切线方程分别为14x x+13y y=1,24x x+23y y=1,又两切线均过点 M,即 x1+3t y1=1,x2+3t y2=1,即点 A,B
19、 的坐标都适合方程 x+3t y=1,而两点确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x+3t y=1.显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程.故直线 AB 恒过定点 C(1,0).数学 反思归纳 (1)弦长公式 若直线 y=kx+b 与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=21k|x1-x2|=211k|y1-y2|.焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长22ba,最长为 2a.(2)中点弦的重要结论 AB 为椭圆22xa+22yb=1(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0).斜率:k=-2020b xa y.弦 A
20、B 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值-22ba.数学 备选例题 【例题】(2014 高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为(43,13),且 BF2=2,求椭圆的方程;数学 解:设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为 B(0,b),所以 BF2=22bc=a.又 BF2=2,故 a=2.因为点 C(43,13)在椭圆
21、上,所以2169a+219b=1.解得 b2=1.故所求椭圆的方程为22x+y2=1.数学(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.解：(2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上,所以直线 AB 的方程为 xc+yb=1.解方程组22221,1,xycbxyab得2122221222,(),a cxacb cayac220,.xyb所以点 A 的坐标为(2222a cac,2222()b caac).又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为(2222a cac,2222()b acac).因为直线 F1C 的斜率为2222222()02()b acaca cc
22、ac=2223()3b aca cc,又直线 AB 的斜率为-bc,且 F1CAB,所以2223()3b aca cc(-bc)=-1.又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2.故 e2=15.因此 e=55.数学 解题规范夯实 把典型问题的解决程序化 直线与椭圆的综合应用【典例】(2015 新课标全国卷)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;(2)若 l 过点(3m,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否
23、为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.数学 审题指导 关键点 所获信息 直线 l 不过原点 O 且不平行坐标轴 直线的斜率存在且不为 0,且截距不为零 l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点 M 利用中点坐标公式,得 M 点坐标从而得 kOM 直线 l 过点(3m,m)直线 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件 解题突破:(1)设直线 l 的方程代入 9x2+y2=m2,得关于 x 的一元二次方程,确定 M 点的坐标得 kOM,进而求 kOMk.(2)由(1)得 OM 的方程,再与 9x2+y2=m2联立,确定 xP,再将点(3m,m)代入 l 的方程得
24、b 与 m,k 的关系,利用平行四边形对角线互相平分,得到坐标关系,代入坐标求得直线 l 的斜率.数学 满分展示:(1)证明:设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,2 分 故 xM=122xx=29kbk,yM=kxM+b=299bk.4 分 于是直线 OM 的斜率 kOM=MMyx=-9k,即 kOMk=-9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.6 分 数学(2)解:四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线 l 过点(3m,m),所
25、以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0,k3.7 分 由(1)得 OM 的方程为 y=-9kx.设点 P 的横坐标为 xP.由2229,9yxkxym 得2Px=222981k mk,即 xP=239kmk.9 分 将点(3m,m)的坐标代入 l 的方程得 b=(3)3mk,因此 xM=2(3)3(9)k kmk.四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM.于是239kmk=22(3)3(9)k kmk,解得 k1=4-7,k2=4+7.11 分 因为 ki0,ki3,i=1,2,所以当 l 的斜率为 4-7 或 4+7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.12 分 数学 答题模板:第一步:设直线方程;第二步:把直线方程代入椭圆方程,得关于x的一元二次方程;第三步:利用根与系数关系得交点坐标关系,从而得kOM;第四步:利用第(1)问得直线OM的方程;第五步:把直线OM的方程代入椭圆方程得P点的坐标;第六步:利用平行四边形的关系得P点和M点的坐标关系,从而得到关于k的方程求得k的值.数学 点击进入课时训练数学
