1、第四节 随机事件的概率考纲点击 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.热点提示 1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查.2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题.1事件(1)在条件S下，叫做相对于条件S的必然事件(2)在条件S下，叫做相对于条件S的不可能事件(3)在条件S下，叫做相对于条件S的随机事件 一定会发生的事件一定不会发生的事件 可能发生也可能不发生的事件 2概率与频率(1)用概率度量随机事件发生的 能为我们的决策提
2、供关键性的依据(2)在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A ，称n次试验中事件A出现的 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(3)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用 来估计概率P(A)nAn可能性大小 次数nA频率fn(A)是否出现 定义 符号表示 包含关系 如果事件A ，则事件B ，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)相等关系 若BA且 ，那么称事件A与事件B相等 并事件(和事件)若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)3事件的关系与运算 发生 一定发生 AB
3、 当且仅当事件A发生或事件B发生 BA(或AB)AB AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)互斥事件 若AB为 事件，那么称事件A与事件B互斥 AB 对立事件 若AB为 事件，AB为 ，那么称事件A与事件B互为对立事件 当且仅当事件A发生且事件B发生 不可能 不可能 必然事件 AB(或AB)4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率P(E).(3)不可能事件的概率P(F).(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A
4、)0P(A)1 1 0 P(A)P(B)1P(B)1下列事件：当x是实数时，x|x|2；某班一次数学测试，及格率低于75%；从分别标有0,1,2,3，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；体育彩票某期的特等奖号码 其中是随机事件的是()A B C D【解析】由随机事件的定义知正确【答案】C 2一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶 C两次都不中靶 D只有一次中靶【解析】射击两次“至少一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生【答案】C 3已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A合格产品少于9件
5、B合格产品多于9件 C合格产品正好是9件 D合格产品可能是9件【解析】因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品可能是1090%9件，这是随机的【答案】D 4若A，B互斥，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_.【解析】A，B为互斥事件，P(AB)P(A)P(B)，P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.【答案】0.3 5某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为_【解析】记事件A甲级品，B乙级品，C丙级品，事件A、B、C彼此互斥，且A与(BC)是对立事件，所以 P(A)1P
6、(BC)1P(B)P(C)10.030.010.96.【答案】0.96 事件的判断 一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：(1)“取出的球是红球”是什么事件？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解【自主探究】(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件【方法
7、点评】1.事件的判断需要对三种事件即不可能事件、必然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假 2对随机事件的理解应包含下面两个方面：(1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究(2)随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性 3根据互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的方法由对立事件的定义可知，对立事件首先要是互斥事件，并且其中一个一定要
8、发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系 1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的
9、，故B与E是互斥事件由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件
10、 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 进球次数m 6 8 9 7 7 12 进球频率 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？随机事件的概率mn【思路点拨】解答本题可根据频率的计算公式fn(A)，其中n为相同条件下重复的试验次数，m为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率【自主探究】(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为 mn6834，81045，91234，79，710，121634.(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，
11、进球的概率约为.【方法点评】1.随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率 2概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心频率 2某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：mn(1)计算表中击中靶心
12、的各个频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？【解析】(1)由公式可算得表中击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由(1)可知，射手在同一条件下击中靶心的频率虽然各不相同，但都在常数0.9左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率 互斥事件、对立事件的概率【思路点拨】【自主探究】记事件A任取1球为红球；B任取1球为黑球；C任取1球为白球；D任取1球
13、为绿球，则 P(A)512，P(B)412，P(C)212，P(D)112.(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P1P(A)P(B)512 41234.(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P2P(A)P(B)P(C)512 412 2121112.(或 P21P(D)1 1121112)【方法点评】1.解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算 2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再
14、用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便 A3将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是()A.5216B.25216C.31216D.91216【解析】“至少出现一次6点向上”的事件有1次向上、2次向上、3次向上3种可能，正面作答运算比较繁琐这种情形下，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现6点向上”的事件的概率 方法一：把一颗骰子先后抛掷3次，向上的点数为a，b，c，记事件的结果为(a，b，c)，则一颗骰子先后抛掷3次的结果有666216种
15、可能，其中“至少出现一次6点向上”的事件有1次向上、2次向上、3次向上3种结果，共3(155)3(115)11191种可能 故至少出现一次6点向上的概率为 .方法二：一颗骰子先后抛掷3次的结果有666216种可能，其中“至少出现一次6点向上”的对立事件“没有6点向上”共有555125种可能，故至少出现一次6点向上的概率为1 .【答案】D 91216912161252161(2009年安徽高考)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于()A1B.12C.13D0【解析】各面中点A、B、C、D、M、N构成如图所示多面体，符合
16、题意的情况分两类 第一类是全等的等边三角形有4对 如MAB与NCD；MCD与NAB；MBC与NAD；MAD与NBC.第二类是全等的Rt共6对 如：RtACD与RtBMN等等 而6个点构成的两类三角形(顶点不重复)共有对数为：=10(对)，P=1，故选A.【答案】A 2(2009年江西高考)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为()A.3181B.3381C.4881D.5081【解析】获奖可能情况分两类：12311；12322；12333；12312；12313；12323.PP1P23A551A33
17、1A22A22355081，故选 D.【答案】D 3(2009年重庆高考)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为()A.891 B.2591 C.4891 D.6091【解析】PC62C51C41C61C52C41C61C51C42C154 1520640180151374891，故选 C.【答案】C 4(2009年浙江高考)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k1，其中k0,1,2，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的
18、卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010)不小于14”为A，则P(A)_.【解析】P17820 13414.卡片如下图 0，1 1，2 2，3 19，20 共 20 张任取一张“其各位数字之和小于 14”的分两种情况：两个 1 位数从 0，1 到 6，7 共有 7 种选择；有两位数的卡片从 9，10 10，11 15，16 和 19，20 共 8 种选法，故如上式得 P14.【答案】141准确地理解随机事件的概率依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化 2两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：(1)若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；(3)事件A，B都不发生两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况，因此，互斥未必对立，但对立一定互斥 3只有事件A，B互斥时，才有公式P(AB)P(A)P(B)，否则公式不成立 4求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)求解，特别是“至多”“至少”型题目，用法二就显得较简便 A课时作业点击进入链接