1、专题二 函数、不等式、导数 解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点三 导数的简单应用 1闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值2若 f(x)ax3bx2cxd 有两个极值点，且 x10 时，f(x)的图象如图，x1 为极大值点，x2 为极小值点，当 a0 或 f(x)0 即可2若已知 f(x)的单调性，则转化为不等式 f(x)0 或 f(x)0在单调区间上恒成立问题求解自我挑战3.已知函数 f(x)x23x2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为_解析：函数 f(x)x23x2ln x 的定义域为(0，)f(x)2x32
2、x，令 2x32x0，即 2x23x20，解得x2，12.又 x(0，)，所以 x0，12.所以函数 f(x)的单调递减区间为0，12.答案：0，12大题规范学会踩点 规范解答类型三 含参数的函数的单调性典例 3(2016高考全国卷)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).1 分 得分点()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.2 分 得分点()设 a0，由
3、f(x)0 得 x1 或 xln(2a).3 分 得分点若 ae2，则 f(x)(x1)(exe)0，所以 f(x)在(，)上单调递增.4 分 得分点若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.5 分 得分点若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减.6 分 得分点(
4、2)()设 a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 blna2，则 f(b)a2(b2)a(b1)2ab232b 0，所以 f(x)有两个零点.8 分 得分点()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有一个零点.9 分 得分点()设 a0，若 ae2，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增，又当 x1 时，f(x)0，故 f(x)不存在两个零点；若 ae2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增，又当 x1 时，f(x)0，故 f(x)不存在两个零点
5、.11 分 得分点综上，a 的取值范围为(0，).12 分 得分点评分细则及说明：正确求导，得 1 分讨论了四种情况，每种情况有且正确得 1 分，缺少则扣1 分讨论了三种情况，正确者得该步分，缺少或者错误者扣该分是结论；缺少者扣 1 分1求函数的单调区间的“三个”方法方法一 第 1 步：确定函数 yf(x)的定义域；第 2 步：求导函数 yf(x)；第 3 步：解不等式 f(x)0 或 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调区间方法二 第 1 步：确定函数 yf(x)的定义域：第 2 步：求导函数 yf(x)，令 f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；第 3 步：把函数 f(x)的
6、间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；第 4 步：确定 f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性方法三 第 1 步：确定函数 yf(x)的定义域；第 2 步：求导函数 yf(x)，并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商第 3 步：利用相应基本初等函数的图象与性质，确定 f(x)在某些区间的正、负，进而得到单调区间2根据函数 yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)若函数 yf(x)在(a，b)上单调递增；转化为 f(x)0 在(a，b)上恒成立求
7、解(2)若函数 yf(x)在(a，b)上单调递减，转化为 f(x)0 在(a，b)上恒成立求解(3)若函数 yf(x)在(a，b)上单调，转化为 f(x)在(a，b)上不变号，即 f(x)在(a，b)上恒正或恒负(4)若函数 yf(x)在(a，b)上不单调，转化为 f(x)0 在(a，b)上有解自我挑战4.设 f(x)ex(ln xa)(e 是自然对数的底数，e2.71 828)(1)若 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y2exb，求 a，b 的值(2)若函数 f(x)在区间1e，e 上单调递减，求 a 的取值范围解：(1)f(x)ex(ln xa)ex1xexln x1xa，所以由题意，
8、得 f(1)e(1a)2e，解得 a1.所以 f(1)e(ln 1a)e，由切点(1，e)在切线 y2exb 上，得 e2eb，be，故a1，be.(2)由题意可得 f(x)exln x1xa 0 在1e，e 上恒成立因为 ex0，所以只需 ln x1xa0，即 aln x1x在1e，e 上恒成立令 g(x)ln x1x.因为 g(x)1x1x2x1x2，由 g(x)0，得 x1.x1e，1(1，e)g(x)g(x)g1e ln1eee1，g(e)11e，因为 e111e，所以 g(x)maxg1e e1.故 ae1.类型四 利用导数求函数极值典例 4(2016高考山东卷)设 f(x)xln
9、xax2(2a1)x，aR.(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值求实数 a 的取值范围解：(1)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)则 g(x)1x2a12axx.当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a，时，函数 g(x)单调递减所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，.(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时，f(x
10、)单调递增，所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 0a12时，12a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x(0,1)时，f(x)0，x1，12a 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 a12时，12a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当 a12时，0 12a1，当 x12a，1 时，f(x
11、)0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意综上可知，实数 a 的取值范围为 a12.1求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号2若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0根的大小或存在情况来求解3求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值自我挑战5函数 f(x)x33axb(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则f(x)的单调递减区间是_解析：令 f(x
12、)3x23a0，得 x a，则 f(x)，f(x)随 x的变化情况如下表：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值 极小值 从而 a33a ab6 a33a ab2，解得a1，b4.所以 f(x)的单调递减区间是(1,1)答案：(1,1)6已知函数 f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点23，f23 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在32，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a的取值范围解：(1)f(x)a2x23x(x0)，由题意可知，f23 1，解得 a1.故 f(x)x2x3ln
13、 x，f(x)x1x2x2，根据题意由 f(x)0，得 x2.于是可得下表：x3232，22(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2 f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a2x23xax23x2x2(x0)，由题意可得方程 ax23x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1，x2，并令 h(x)ax23x2，则 98a0，x1x23a0，x1x22a0，也可以为98a0，32a 0，h00解得 0a98.故 a 的取值范围为0，98.1(2016高考四川卷)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A4 B2C4 D2D解析：选 D.由题意得 f(x)
14、3x212，由 f(x)0 得 x2，当 x(，2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(2,2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，当 x(2，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以 a2.2(2017高考全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3D1A解析：选 A.函数 f(x)(x2ax1)ex1，则 f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由 x2 是函数 f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以 a1.所以 f(x)(x2x1)ex1，f
15、(x)ex1(x2x2)由 ex10 恒成立，得 x2 或 x1 时，f(x)0，且 x2 时，f(x)0；2x1 时，f(x)0；x1 时，f(x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A.3(2016高考全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：当 x0 时，x0，则 f(x)ex1x.又 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)ex1x，所以 f(x)ex11，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线斜率为 f(1)2，所以曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程
16、为 y22(x1)，即 y2x.答案：y2x4(2017高考全国卷)已知函数 f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0，求 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若 a0，则 f(x)e2x 在(，)上单调递增若 a0，则由 f(x)0 得 xln a.当 x(，ln a)时，f(x)0；当 x(ln a，)时，f(x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若 a0，则由 f(x)0 得 xlna2.当 x，lna2 时，f(x)0；当 xlna2，时，f(x)0.故 f(x)在，lna2 上单调递减，在lna2，上单调递增(2)若 a0，则 f(x)e2x，所以 f(x)0.若 a0，则由(1)得，当 xln a 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即 a1 时，f(x)0.若 a0，则由(1)得，当 xlna2 时，f(x)取得最小值，最小值为 flna2 a234lna2，从而当且仅当 a234lna2 0，即 a时，f(x)0.综上，a 的取值范围是，1点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升