1、第三节 数系的扩充与复数的引入考纲点击 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义 4.会进行复数代数形式的四则运算 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.热点提示 1.复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题.2.复数的代数运算是高考的另一热点，以选择、填空题的形式出现，属容易型.1复数的有关概念(1)复数的概念 形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是 它的 和 若 ，则abi为实数，若 ，则abi为虚数，若 ，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi (a，b，c，dR)(3)共
2、轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR)(4)复平面 实部 虚部 b0 b0 a0且b0 ac且bd ac，bd 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面 叫做实轴，叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示 (5)复数的模 向量 的模r叫做复数zabi的模，记作 或 ，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi 复平面内的点Z(a，b)(a，bR)OZa2b2(2)复数zabi 平面向量 (a，bR)OZx轴 y轴 非纯虚数|abi|z|3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则
3、 加法：z1z2(abi)(cdi)i；减法：z1z2(abi)(cdi)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)i；除法：z1z2abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)(cdi0)(2)复数加法的运算定律(ac)(bd)(ac)(bd)(acbd)(adbc)(acbd)(bcad)ic2d2复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2 ，(z1z2)z3 z2z1 z1(z2z3)1下列命题正确的是()(i)21；i3i；若ab，则aibi；若zC，则z20 A B C D【解析】虚数不能比较大小，故错误；若zi，则z210，故错误【答案】A 2已知复数
4、z1a2i，z22i，且|z1|z2|,则实数a等于()A1 B1 C1或1 D1或0【解析】|z1|a24，|a2|5.由已知a24 5，a21，a1.【答案】C 3若复数 是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b()A2 B.C D2 1bi2i12 12【解析】1bi2i(1bi)(2i)5152b(2b1)i，若复数为纯虚数，则 2b0 且 2b10，b2.【答案】D 4._.2(1i)2【解析】2(1i)222i1ii【答案】i 5设 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z 2i，iz，则z_.zzz【解析】iz代入z 2i，得ziz2i，z 1i.zz2i1i【答案】1i 复数的有
5、关概念及复数的几何意义当实数m为何值是，zlg(m22m2)(m23m2)i(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内【思路点拨】根据复数分类的条件和复数的几何意义求解【自主探究】根据复数的有关概念，转化为实部与虚部分别满足的条件去求解(1)若z为纯虚数，则 ，解得m3.(2)若z为实数，则 ，解得m1或m2.(3)若z的对应点在第二象限，则 ，解得1m1 或1 m0m23m20lg(m22m2)03 3(3)1m1 或1 m3时，z的对应点在第二象限内 3 3【方法点评】1.复数的分类(abi)实数(b0)虚数(b0)纯虚数(a0)非纯虚数(a0)2处理有关复数概念的
6、问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题 1若mR，复数z (m22m3)i，试求当m为何值时，(1)zR；(2)z是虚数；(3)z为纯虚数【解析】令 0得，m2，或m0 m22mm1m22mm1令m22m30得，m3，或m1(1)若zR，由及m10知，m3.(2)若z是虚数，则由知，m3且m1.(3)若z是纯虚数，则由知，m2或m0.复数相等的条件已知集合M(a3)(b21)i，8，集合N3i，(a21)(b2)i同时满足MNM，MN，求整数a、b.【思路点拨】判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件【自
7、主探究】依题意得(a3)(b21)i3i 或8(a21)(b2)i 或a3(b21)ia21(b2)i 由得a3，b2，经检验，a3，b2不合题意，舍去 a3，b2.由得a3，b2.又a3，b2不合题意，a3，b2.由得 即 此方程组无整数解 a3a21b21b2a2a40b2b30综合、得a3，b2或a3，b2.【方法点评】1.abicdi (a，b，c，dR)2利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式【特别提醒】对于复数z，如果没有给出代数形式，可设zabi(a、bR)acbd2已知复数z的共轭复数是 ，且满足z 2iz92i.求z.【解析】设z
8、abi(a，bR)，则abi，z 2iz92i，(abi)(abi)2i(abi)92i 即a2b22b2ai92i 由得a1代入得b22b80 解得b2或b4.z12i或z14i.z z z a2b22b9 2a2 复数的运算计算：(1)(22i)4(1 3i)5；(2)2 3i12 3i 21i2 010；(3)1i1i6 2 3i3 2i.【思路点拨】主要是应用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧【自主探究】(1)原式16(1i)4(1 3i)4(1 3i)16(2i)2(22 3i)2(1 3i)644(1 3i)2(1 3i)16(1 3i)4 41 3i1 3i.(2)原式i
9、(12 3i)12 3i 21i2 1 005i22i1 005ii1 005ii42511ii2i.(3)方法一：原式(1i)226(2 3i)(3 2i)(3)2(2)2i662i3i 651i.方法二：技巧解法原式(1i)226(2 3i)i(3 2i)ii6(2 3i)i2 3i1i.【方法点评】1.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；(2)(1i)22i；(3)1i1ii；(4)1i1ii；(5)baii(abi)；(6)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，nN.2复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项
10、，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧 3计算：(1)(1i)(2i)i3；(2)1i(1i)2 1i(1i)2；(3)1i22 0071i22 007.【解析】(1)(1i)(2i)i33ii13i.(2)1i(1i)21i(1i)21i2i 1i2i1i21i21.(3)1i22 0071i22 0071(2)2 007(1i)2 006(1i)(1i)2 006(1i)1(2)2 007(2i)1 003(1i)(2i)1 003(1i)12(i)(1i)i(1i)2.1(2009宁夏、海南高考)复数 3
11、2i23i32i23i()A0 B2 C2i D2i【解析】32i23i32i23i(32i)(23i)(23i)(23i)(32i)(23i)(23i)(23i)13i1313i13 ii2i.【答案】D 2(2009浙江高考)设z1i(i是虚数单位)，则 z2()A1i B1i C1i D1I 2z【解析】2zz2 21i(1i)22(1i)21i22i1i.故选 D.【答案】D 3(2009安徽高考)i是虚数单位，若 abi(a，bR)，则乘积ab的值是()17i2iA15 B3 C3 D15【解析】17i2i(17i)(2i)(2i)(2i)2i14i74113iabi，a1，b3，a
12、b133，故选 B.【答案】B 4(2009 辽宁高考)已知复数 z12i，那么 1z()A.55 2 55 iB.55 2 55 iC.1525iD.1525i【解析】由z12i知 z 12i，于是 1z 112i12i141525i.故选 D.【答案】D 5(2009广东高考)设z是复数，(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，(i)()A2 B4 C6 D8【解析】(i)表示in1的最小整数n，因i4k1(kN*)，显然n4，即(i)4.故选B.【答案】B 1数的概念扩展为复数后，应把复数和虚数区别开 复数问题应从“数”与“形”这两个不同角度去认识，而实数集中一些运算性质、概念关系在复数范围内就不一定能运用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 2复数zabi(a，bR)，复平面内的点z(a，b)、复平面内的向量O相互间是一一对应的因此，复平面内z对应的点到原点的距离，也就是它对应的向量的模 4复数问题实数化的转化方法主要有：(1)复数相等的概念；(2)复数的模的概念；(3)共轭复数的性质 3至少有一个为虚数的两个复数不能比较大小，这是虚数与实数的重要区别之一 课时作业点击进入链接课时作业点击进入链接
