1、专题三 三角函数及解三角形 解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点二 三角恒等变换与解三角形 1诱导公式都可写为 sink2 或 cosk2 的形式根据 k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”2公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan tan tan()(1tan tan)；tan tan tan()(1tan tan)(2)升幂公式1cos 2cos22；1cos 2sin22.(3)降幂公式sin21cos 22；cos21cos 22.(4)其他常用变形sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2；cos 2cos2sin2co
2、s2sin21tan21tan2；1sin sin2cos22；tan2sin 1cos 1cos sin.3三角形面积 Sabc4R(R 为外接圆半径)；S12(abc)r(r 为内切圆半径)；S12 PPaPbPcP12abc.4在ABC 中，abABsin Asin B.5(1)若ABC 为锐角三角形，则 AB2，sin Acos B，cos Asin B，a2b2c2；(2)若ABC 为钝角三角形(假如 C 为钝角)，则 AB2，sin Acos B，cos Asin B.6在ABC 中，ccos Bbcos Ca.7sin Asin(BC)，sin A2cos BC2.8.asin
3、A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C.小题速解不拘一格 优化方法类型一 三角恒等变换及求值典例 1(1)(2016高考全国卷)已知 是第四象限角，且sin4 35，则 tan4 _.解析：通解：将 4转化为4 2.由题意知 sin4 35，是第四象限角，所以cos4 0，所以 cos4 1sin24 45.tan4 tan42 1tan4cos4sin4453543.优解：由题意知 4为第一象限角，设 4，4，tan4 tan2 tan2.如图，在 RtACB 中，不妨设A，由 sin 35可得，BC3，AB5，AC4，B2，tan B43，tan4 tan B43
4、.答案：43(2)(2016高考全国卷)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425 B.4825C1 D.1625A解析：通解：弦化切 tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin2 14tan 1tan2 6425.优解：猜想 sin 及 cos 的值根据勾股数 3,4,5 及 tan sin cos 34可猜得 sin 35，cos 45cos24sin cos 452435456425，故选 A.(3)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则()A32B32C22D22C解析：通解：由 tan 1sin cos 得sin cos
5、1sin cos ，即 sin cos cos sin cos，所以 sin()cos，又 cos sin2，所以 sin()sin2，又因为 0，2，0，2，所以22，022，因为 2，所以 22，故选 C.优解一：tan 21cos sin，由 tan 1sin cos 知，、应为 2 倍角关系，A、B 项中有 3，不合题意，C 项中有 22.把 22代入1sin cos 1sin22cos221cos 2sin 2tan，题设成立故选 C.优解二：1sin cos 1cos2sin2tan42tan tan42又0，2，0，2，20，4，424，2，42，22，22.故选 C.母题变式在
6、本例(2)中，求 sin22cos 2 的值解析：sin22cos 2sin22cos2sin2sin2cos22tan2tan212 9161 9162325.1三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂；(4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角
7、函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小自我挑战1已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_解析：由 sin 2cos 0 得 tan 2.2sin cos cos2 2sin cos cos2sin2cos2 2tan 1tan21 221221 55 1.答案：12已知 sin4 7 210，cos 2 725，则 sin 等于()A.45B45C35D.35D解析：选 D.(1)由 sin4 7 210，得 sin cos4cos sin47 210，即 sin cos 75，又 c
8、os 2 725，所以 cos2sin2 725，即(cos sin)(cos sin)725，因此 cos sin 15.由得 sin 35，故选 D.3若 tan 2tan5，则cos310sin5()A1 B2C3 D4C解析：选 C.cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan5tan tan5，tan 2tan5，cos310sin53tan5tan53.故选 C.类型二 正、余弦定理的简单应用典例 2(1)(2016高考全国卷)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 sin A(
9、)A.310B.1010C.55D.3 1010D解析：通解：设 BC 边上的高为 AD，则 BC3AD，DC2AD，所以 AC AD2DC2 5AD.由正弦定理，知 ACsin 45 BCsin A，即5AD223ADsin A，解得 sin A3 1010，故选 D.优解：设出 BC 长度求边，用正弦定理求sin A.设 BC3，则高 ADBD1，DC2.AC 5，sin A3 225 3 1010.(2)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_解析：通解：a2，又(2b)(sin
10、Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.b2c2a22bc bc2bc12cos A，又 0A180，A60.在ABC 中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当 bc 时取得)，SABC12bcsin A124 32 3.优解：求出 A60，由 asin A2R2sin 60 43可知，ABC 的外接圆大小确定，要使三角形面积最大，当且仅当顶点 A 到 BC 的距离最大，即为等边三角形时，S1222sin 60 3.答案：31解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式
11、子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”自我挑战4在ABC 中，AC 7，BC2，B60，则 BC 边上的高等于()A.32B.3 32C.3 62D.3 394B解析：选 B.由余弦定理得 AC2BC2AB22ABBCcos B，即(7)222AB222ABcos 60，即 AB22AB30，得 AB3，故 BC 边上的高是 ABsin 603 32.5在ABC 中
12、，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且 c 7，C3，则ABC 的面积是()A.3 34B.7 36C.213D.3 34 或7 36D解析：选 D.sin(BA)sin(BA)3sin 2A，即 2sin Bcos A6sin Acos A当 cos A0 时，A2，B6，又 c 7，得 b 213.由三角形面积公式知 S12bc7 36；当 cos A0 时，由 2sin Bcos A6sin Acos A 可得 sin B3sin A，根据正弦定理可知 b3a，再由余弦定理可知 cos Ca2b2c22aba29a276a2cos
13、312，可得 a1，b3，所以此时三角形的面积为 S12absin C3 34.综上可得三角形的面积为7 36 或3 34，所以选 D.大题规范学会踩点 规范解答类型三 正余弦定理的综合应用典例 3(本小题满分 12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin C3cos Acos B，tan Atan B1 3，c 10.(1)求sin Asin Bab的值；(2)若1a1b1，求ABC 的周长与面积规范解答：(1)由 sin C3cos Acos B 可得 sin(AB)3cos Acos B，即 sin Acos Bcos Asin B3cos Acos B，因
14、为 tan Atan B1 3，所以 A，B2，两边同时除以 cos Acos B，得到 tan Atan B3，因为 tan(AB)tan(C)tan C，tan(AB)tan Atan B1tan Atan B311 3 3，所以 tan C 3，3 分 得分点又 0C，所以 C3.4 分 得分点根据正弦定理得 asin A bsin Bcsin C 103223 30，故 a23 30sin A，b23 30sin B，5 分 得分点故sin Asin Babsin Asin B23 30sin A23 30sin B 3020.6 分 得分点(2)由(1)及余弦定理可得 cos3a2b
15、2c22ab，因为 c 10，所以 a2b210ab，即(ab)22ab10ab，8 分 得分点又由1a1b1 可得 abab，故(ab)23ab100，解得 ab5 或 ab2(舍去)，此时 abab5，所以ABC 的周长为 5 10，10 分 得分点ABC 的面积为125sin35 34，12 分 得分点评分细则及说明：由已知条件及两角和正切公式推出 tan C 3得 3 分；由 0C 得出角 C 得 1 分；由正弦定理推出 a，b 表达式得 1 分；求出sin Asin Bab的值得 1 分；利用(1)中 C3及余弦定理推出(ab)22ab10ab 得 2分；由1a1b得 abab 等推
16、出ABC 的周长得 2 分；求出ABC 的面积得 2 分1注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解2写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点才得分自我挑战6.(2017山东青岛二模)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,2acos C2ccos Aa
17、c.(1)若sin Asin B34，求cb的值；(2)若 C23，且 ca8，求ABC 的面积 S.解：(1)2acos C2ccos Aac由正弦定理：2sin Acos C2sin Ccos Asin Asin Csin Asin C2sin(AC)2sin(B)2sin Bac2b sin Asin B34，ab34 由得：cb54.(2)ca8，ac2b，ba4，ca8，C23.由余弦定理得：(a8)2a2(a4)22a(a4)cos23，解得：a6，b10.所以 S12absin C12610 32 15 3.类型四 三角形的交汇问题典例 4(2017山东济南模拟)已知向量 m(s
18、in x，1)，ncos x，32，函数 f(x)(mn)m(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移8个单位得到函数 g(x)的图象，在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 a3，gA2 66，sin Bcos A，求 b 的值解：(1)由题意：mn(sin xcos x，12)，f(x)(mn)msin xcos x，12(sin x，1)sin2xsin xcos x1212sin 2x12cos 2x 22 sin2x4，令 2k22x42k2，kZ，k8xk38，kZ，函数 f(x)的单调递增区间为k8，k38，kZ.(2)由题意知
19、 g(x)22 sin2x8 4 22 sin 2x，gA2 22 sin A 66，sin A 33，cos A 63，在ABC 中，sin Bcos A0，sin B 63.由正弦定理：asin A bsin B，basin Bsin A 3 63333 2.三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.自我挑战7
20、.在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量m(2sin(AC)，3)，向量 ncos 2B，12cos2B2，且 mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 sin Asin Csin2B，求 ac 的值解：(1)mn，2sin(AC)12cos2B2 3cos 2B，2sin Bcos B 3cos 2B，sin 2B 3cos 2Bcos 2B0，tan 2B 3，0B2，02B，2B23.B3(2)sin Asin Csin2B，由正弦定理得：acb2.又 b2a2c22accos B，a2c2acac，即(ac)20.ac0.1(2016高考全国卷)若 cos4 3
21、5，则 sin 2()A.725 B.15C15D 725D解析：选 D.通解：因为 cos4 cos 4cos sin 4sin 22(sin cos)35，所以 sin cos 3 25，所以 1sin 21825，所以 sin 2 725，故选 D.优解：因为 cos4 35，所以 sin 2cos22 cos 242cos24 12 9251 725.2(2016高考全国卷)若 tan 13，则 cos 2()A45B15C.15D.45D解析：选 D.通解：由 tan 13，得 sin 1010，cos 3 1010或 sin 1010，cos 3 1010，所以 cos 2cos2
22、sin245，故选 D.优解：cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan21132113245.3(2017高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.解析：通解：由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又 ACB.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又 sin B0，cos B12.B3.优解：在ABC 中，acos Cccos Ab，条件等式变为 2bcos Bb，cos
23、 B12.又 0Bb，B45，A180604575.答案：755(2017高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知ABC 的面积为a23sin A.(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长解：(1)由题设得12acsin Ba23sin A，即12csin Ba3sin A.由正弦定理得12sin Csin B sin A3sin A.故 sin Bsin C23.(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C12，即 cos(BC)12.所以 BC23，故 A3.由题意得12bcsin Aa23s
24、in A，a3，所以 bc8.由余弦定理得 b2c2bc9，即(bc)23bc9.由 bc8，得 bc 33.故ABC 的周长为 3 33.6(2017高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B2.(1)求 cos B；(2)若 ac6，ABC 的面积为 2，求 b.解：(1)由题设及 ABC 得 sin B8sin2B2，故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17 cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)，或 cos B1517.故 cos B1517.(2)由 cos B1517得 sin B 817，故 SABC12acsin B 417ac.又 SABC2，则 ac172.由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362172 11517 4.所以 b2.点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升