1、第四章 三角函数、解三角形 第二节 同角三角函数基本关系式与 诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sincostan；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识梳 理 诊 断 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.sin2 cos2 1(R)tansincos(k2，kZ)2.诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)2 2 正弦_cos 余弦_ 正切_sinsinsinsincoscoscoscoscossinsintantantantan对于角“k2 ”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限
2、”，意思是说k2 ，kZ 的三角函数值等于“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变，然后 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原三角函数值的符号.”1.判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin2 cos2 1.()(2)同角三角函数的基本关系式中角 可以是任意角.()(3)sin()sin 成立的条件是 为锐角.()(4)若 sin(k)13(kZ)，则 sin 13.()(5)角 和 终边关于 y 轴对称.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2016哈三中高三月考)cos(510)的值为()A.32 B.32 C.12 D.12解析
3、 cos(510)cos510cos(360150)cos150 32.选 B.答案 B3.sin2()cos()cos()1 的值为()A.1 B.2sin2C.0 D.2解析 原式(sin)2(cos)cos1 sin2cos212.答案 D4.已知 sinxcosx 312，x(0，)，则 tanx()A.33B.33C.3D.3解析 因为 x(0，)，且 0sinxcosx 3121，所以 x(2，34)，由 sinxcosx 312两边平方得 2sinxcosx 32，即 sin2x 32，2x43，x23，tanx 3，故选 D.答案 D5.(2016 湖 南 衡 阳 八 中 月
4、考)已 知 sin 6 23，则cos3 _.解析 cos3 sin2 3 sin6 23.答案 236.已知 tan 2，则 sin cos _.解析 sincos sincossin2cos2tantan21222125.答案 25考 点题 型 突 破 考点一 同角三角函数关系式的应用 共研型 角度 1：公式 sin2cos21 的应用(2016山东省实验中学二诊)已知 sin cos430 4，则 sin cos 的值为()A.23B.23C.13D.13解析 sincos4304，12sincos169，2sincos79.sincos（sincos）212sincos 23.故选 B
5、.答案 B角度 2：公式 tansincos的应用 已知 为三角形的内角，且 sin cos 15，则 tan _.解析 解法一：联立方程sincos15，sin2cos21，由得 cos15sin，将其代入，整理得 25sin25sin120.是三角形内角，sin45，cos35，tan43.解法二：sincos15，(sincos)2152，即 12sincos 125，2sincos2425，(sincos)212sincos124254925.sincos12150 且 00，cos0.sincos75.由sincos15，sincos75，得sin45，cos35，tan43.答案
6、43 拓展探究(1)在例 12 的条件下，求 sin 4cos5sin 2cos的值.(2)在例 12 的条件下，求1cos2 sin2 的值.(3)在例 12 的条件下，求 sin2 2sin cos 的值.解析(1)sin4cos5sin2cos tan45tan2 434543 287.(2)1cos2sin2sin2cos2cos2sin2 sin2cos2cos2cos2sin2cos2tan211tan2 43211432257.(3)sin22sincossin22sincossin2cos2 tan22tan1tan2169 831169 825.答案(1)87(2)257 (
7、3)825(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sincostan 可以实现角 的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sin cos 这 三 个 式 子，利 用(sincos)2 12sincos，可以知一求二.(3)若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分子，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.1.角度 1(2016甘肃定西通渭期末)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan()A.1 B.22C.2
8、2D.1解析 sincos2，(0，)，12sincos2，即 sin21，故 232，34，tan1.故选 A.答案 A2.角度 2(2016河北衡水中学二调)已知 tan 2，则sin2 sin cos 2cos2()A.43B.54C.34D.45解析 sin2sincos2cos2 sin2sincos2cos2sin2cos2tan2tan2tan21 4224145.故选 D.答案 D考点二 三角函数式的化简与求值 互动型 (1)sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)_.(2)设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2 cos32 sin22
9、(12sin 0)，则 f 236_.解析(1)原式sin1200cos1290cos1020 sin1050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin120cos210cos300sin330 sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin60cos30cos60sin30 32 32 12121.(2)f()（2sin）（cos）cos1sin2sincos2 2sincoscos2sin2sincos（12sin）sin（12sin）1tan，f 2361tan2361tan46 1tan
10、6 3.答案(1)1(2)3 利用诱导公式化简求值的思路(1)化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了化式的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了(2)在对给定式子进行化简求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错1.已知 2，则12sin（）sin32()A.sin cosB.cos sinC.(sin cos)D.sin cos解析 12sin（）sin32 12sincos|sincos|，又因为 2，所以 sincos，故选 A.答案 A2.化简：tan（）cos（2）sin
11、32cos（）sin（）_.解析 原式tancos（cos）cos（）（sin（）tancoscoscossinsincoscossin1.答案 1考点三 诱导公式的应用互动型 (1)若 2，cos(7)35，则 sin(3)tan(72)的值为_.(2)(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin 4 35，则 tan 4 _.解析(1)cos(7)cos(7)cos()cos 35，cos 35.sin(3)tan72 sin()tan72 sin tan2 sin sin2 cos2 sin cos sin cos 35.(2)由 sin4 35，知 cos4 35.因为 为第四象限
12、角，所以 为第一象限角，4 为第一象限角或第二象限角.又因为 cos4 35，所以4 为第一象限角.所以tan4 43，tan4 43.答案(1)35(2)43 诱导公式的应用技巧(1)求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现 k(kZ)的形式时，需要对 k 的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号1.(2016齐齐哈尔二模)已知2 0，sin 2 35，则 tan()的值为()A.43B.34C.34D.43解析 因为 sin2 35，所以 cos35.又2
13、 0，所以 sin45，所以 tan()tansincos43.答案 D2.已知 cos(75)13，且180 90，则cos(15)_.解析 由18090，得105750可知 75 是第四象限角，所以 cos(15)sin(75)1cos2（75）2 23.答案 2 23课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.2.同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.1.利用诱导公式进行化简求值时，
14、先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.名 师微 课 导 学 课题 19：方程思想在三角函数求值中的应用名师导学：当已知 sin 与 cos 的等量关系求三角函数值时，一般与 sin2 cos2 结合，利用方程的思想求解.(2016西安五校联考)已知 sin cos 713，(0，)，则 tan _.切入点 将 sincos 713两边平方，结合 sin2cos21 求解.关键点 结合同角关系式列方程组求解.解析 解法一：因为 sincos 713，(0，)，所以(sincos)212sincos
15、 49169，所以 sincos 60169.由根与系数的关系，知 sin，cos是方程 x2 713x 601690 的两根，所以 x11213，x2 513.因为(0，)，所以 sin0，cos0，sincos 601690.所以 2，34，所以 tan125.解法三：解方程组sincos 713sin2cos21得，sin1213，cos 513或sin 513，cos1213(舍).故 tan125.答案 125 对于 sincos，sincos，sincos 这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二，体现方程思想的运用1.已知 3sin 4cos 5，则 ta
16、n _.解析 解法一：由题意得 3sin54cos，两边平方，得 9sin22540cos16cos2，则 25cos240cos160，解得 cos45，则 sin35，故 tan34.解法二：把等式两边平方，整理得 9sin224sincos16cos225(sin2cos2)，两边同时除以 cos2，整理得 16tan224tan90，解得 tan34.解法三：设 4sin3cosx，则 x225(4sin3cos)2(3sin4cos)225，从而有 x0，则 tan34.答案 342.若 sin，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m的值为_.解析 由题意知：sin cos m2，sin cos m4，又(sin cos)212sin cos，m24 1m2，解得：m1 5，又 4m216m0，m0 或 m4，m1 5.答案 1 5请做：课时跟踪训练（十九）
