1、数 学 大二轮复习第一部分专题强化突破专题五 立体几何知识网络构建第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦高考考点考点解读空间几何体的三视图与直观图的关系1.根据某几何体的部分三视图，判断该几何体的其他三视图；或者已知某几何体的三视图，判断该几何体的形状2考查三视图的画法以及数量关系空间几何体的表面积与体积的计算1.以三视图为命题背景，考查空间几何体体积、表面积的计算方法2以空间几何体为命题背景考查空间几何体体积、表面积的计算方法多面体与球的切、接问题以球与多面体为背景，考查球的截面性质 备考
2、策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对空间几何体结构特征的理解，掌握各种几何体的体积、表面积公式(2)掌握空间几何三视图的画法规则，掌握几何直观图中各个元素之间的关系以及三视图中长宽之间的关系(3)掌握球及球的截面的性质 预测2018年命题热点为：(1)已知空间几何体的三视图，求空间几何体的体积、表面积(2)已知空间几何体中各元素间的关系，求几何体的体积、表面积(3)给出球体与多面体，利用球的性质求解球的体积、表面积等核心知识整合 1柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V 棱柱_(S 为底面积，h 为高)S 棱柱2S 底面S 侧面棱锥V 棱锥_(S 为底面积，
3、h 为高)S 棱锥S 底面S 侧面棱台V 棱台13h(S SSS)(S、S为底面积，h 为高)S 棱台S 上底S 下底S 侧面Sh 13Sh 名称体积表面积圆柱V 圆柱r2h(r 为底面半径，h 为高)S 圆柱_(r 为底面半径，l 为母线长)圆锥V 圆锥_(r 为底面半径，h 为高)S 圆锥_(r 为底面半径，l 为母线长)圆台V 圆台13h(r2rrr2)(r、r为底面半径，h 为高)S 圆台_ 球V 球_(R 为球的半径)S 球_(R 为球的半径)2rl2r2 13r2h rlr2(rr)lr2r2 43R3 4R2 2空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图 三视图的正视图、
4、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高 三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面(2)空间几何体的直观图 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45(或135)，平行长不变，垂直长减半”1未注意三视图中实、虚线的区别 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线 2不能准确分析组合体的结构致误 对简单组合体表面积与体积的计
5、算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差 3台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行 4空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响高考真题体验1(2017浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是 导学号 52134558()A21 B23C32 1 D32 3A 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，该几何体的体积V13121231312 2 2321故选 A2(2017全国卷，4)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗
6、实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为导学号 52134559()A90 B63 C42 D36B 解析 方法 1：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积 V3243261263故选 B方法 2：(估值法)由题意知，12V 圆柱V 几何体V 圆柱又 V 圆柱321090，45V 几何体90.观察选项可知只有 63 符合故选 B3(文)(2017北京卷，6)某三棱锥的
7、三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号 52134560()A60 B30 C20 D10D 解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 PACD，过点 P 作 PB平面 ACD于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形，AD5，CD3，PB4，所以 V 三棱锥 PACD131235410故选 D(理)(2017北京卷，7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为导学号 52134561()A3 2B2 3C2 2D2B 解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD 为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为 2，故 SD 2222222 3故选 B4
8、(2017全国卷，8)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 导学号 52134562()A B34C2D4B 解析 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形r12122 32 圆柱的体积为 Vr2h34134 故选 B5(2016全国卷，4)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为导学号 52134563()A12 B323 C8 D4A 解析 因为正方体的体积为 8，所以正方体的棱长为 2，其体对角线长为2 3，所以正方体的外接球的半
9、径为 3，所以球的表面积为 4(3)2126(2017江苏卷，6)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_.导学号 5213456432 解析 设球 O 的半径为 R，球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 RV1V2R22R43R3327(2017全国卷，16)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O 的表面积为_
10、.导学号 5213456536 解析 如图，连接OA，OB 由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC，OASC，知 OA平面 SCB设球 O 的半径为 r，则 OAOBr，SC2r，三棱锥 SABC 的体积 V13(12SCOB)OAr33，即r339，r3，S 球表4r236命题热点突破(1)(2017青岛一模)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正(主)视图中的 x 的值是导学号 52134566()A2 B92 C32 D3命题方向1 空间几何体的三视图D 分析 根据三视图判断几何体为四棱锥，再利
11、用体积公式求高x即可解析 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图：V13122 2x3x3(2)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是导学号 52134567()D 分析 由已知中的四个三视图，可知四个三视图分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的根据A与C中俯视图正好旋转180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据A和C可判断B正确，D错误 解析 三棱锥的三视图均为三角形，四个选项均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1,2的棱锥；A与C
12、中俯视图正好旋转180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥；设A中观察的正方向为标准正方向，所以C表示从后面观察该棱锥；B与D中俯视图正好旋转180，故应从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥，根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥故选D 规律总结 1由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认 2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正视图或
13、侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状 提醒：在读图或者画空间几何体的三视图时，未注意三视图中的实虚线，造成对空间几何体的认识不准确或对三视图理解有差错一只蚂蚁从正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点 C1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 导学号 52134568()C A(1)(2)B(1)(3)C(2)(4)D(3)(4)解析 爬行路线为时正视图为(2)；爬行路线是时，正视图为(4)，故选 C(1)(2017全国卷，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视
14、图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为导学号 52134569()A10 B12C14 D16命题方向2 空间几何体的表面积与体积B 解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为 212(24)212故选 B(2)(2017山东卷，
15、13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为_.导学号 5213457022 解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，V21121412122 规律总结 求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑 1给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式 2用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算 3用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积 4求几何体
16、的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法1一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图 如 下 图，则 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为导学号 52134571()A18 B17 C16 D15D 解析 由三视图得，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，截去四面体 A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为 a，则 VA-A1B1D11312a316a3，故剩余几何体体积为 a316a356a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，故选 D2(2016全国卷)如图，某几何体的三视图
17、是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该 几 何 体 的 体 积 是 283，则 它 的 表 面 积 是导学号 52134572()A17 B18 C20 D28A 解析 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为 r，故7843r3283，所以 r2，表面积 S784r234r217，选 A(1)已知正四棱锥 PABCD 内接于一个半径为 R 的球，则正四棱锥 PABCD 体积的最大值是导学号 52134573()A16R381 B32R381 C64R381 DR3命题方向3 多面体与球C 解析 如图，记 O 为正四棱锥 PABCD 外接球的球心，O1为底
18、面 ABCD 的中心，则 P，O，O1三点共线，连接 PO1，OA，O1A设 OO1x，则 O1A R2x2，AB 2 R2x2，PO1Rx，所以正四棱锥 PABCD 的体积 V13AB2PO1132(R2x2)(Rx)13(2R2x)(Rx)(Rx)132R2xRxRx3364R381，当且仅当 2R2xRx，即 xR3时取等号(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_.导学号 5213457473a2 解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.设 O，O1 分别为下、上底面的中心，且球心 O2为 O1O 的中点，又
19、AD 32 a，AO 33 a，OO2a2，设球的半径为 R，则R2AO2213a214a2 712a2，所以 S 球4R24 712a273a2 规律总结 多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2a2b2c2求解(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长(5)利用平面几何知识寻
20、找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解1(2017重庆测试)已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 26，则球 O的表面积为导学号 52134575()A4 B8 C12 D16A 解析 依题意，设球 O 的半径为 R，球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，则由O 是 PC 的中点得，点 P 到平面 ABC 的距离等于 2d，所以 VPABC2VOABC213SABCd23 34 12d 26，解得 d23，又 R2d2(33)21，所以球 O的表面积等于 4R24，选 A2(2017陕西西安模拟)已知三棱锥 DABC 中，ABBC1，AD2，BD 5，AC 2，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为 导学号 52134576()A 6 B6 C5 D8B 解析 由勾股定，知 DABC，ABBC，BC平面 DAB，BCBD，CD BD2BC2 6AC2AD2246CD2，DAAC取 CD 的中点 O，由直角三角形的性质知，O 到点 A，B，C，D 的距离均为62，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球的表面积为 4(62)26课后强化训练