1、习题课数学归纳法明目标、知重点1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从nk到nk1必须用上归纳假设题型一用数学归纳法证明不等式用数学归纳法
2、证明不等式，首先要清楚由nk到nk1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明nk1时的结论例1已知数列bn的通项公式为bn2n，求证：对任意的nN*，不等式都成立证明由bn2n，得，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立(1)当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时不等式成立，即成立则当nk1时，左边 .所以当nk1时，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式对任意的nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用跟踪训练1用数学归纳法证
3、明1(n2，nN*)证明当n2时，左式，右式1，因为，所以不等式成立假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，1112)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明跟踪训练3有n
4、个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分证明(1)n1时，分为2块，f(1)2，命题成立；(2)假设nk(kN*)时，被分成f(k)k2k2部分；那么当nk1时，依题意，第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即nk1时命题成立，由(1)(2)知命题成立1某个命题与正整数n有关，若nk (kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么下列说法正确的是_n6
5、时该命题不成立 n6时该命题成立n4时该命题不成立 n4时该命题成立答案解析nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题成立若n5时，该命题不成立，则n4时该命题不成立2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第一步验证n1时，命题成立，第二步归纳假设应写成_答案假设n2k1(kN*)时命题正确，再推证n2k1时命题正确3用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_答案n3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立4用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是_答案(2k2)(2k3)解
6、析当nk时，左边共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)呈重点、现规律1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式123(n3) (nN*)，验证n1时，左边应取的项是_答案1234解析等式左边的数是从1加到n3.当n1时，n34，故此时左边
7、的数为从1加到4.2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_答案5解析当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5.3已知f(n)1(nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_答案2k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项4若f(n)1(nN*)，则f(1)_.答案解析相当于一个通项，把n1代入得.所以f(1)1.5用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，
8、为了使用归纳假设，应将5k12k1变形为_答案5(5k2k)32k6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an (nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn_.答案解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an.证明(1)当n1时，a1S1(a1)，a1(an0)，a11，又1，n1时，结论成立(2)假设nk(kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk(ak1)(ak)(ak1)()(ak1).a2ak110，解得ak1(an0)，nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都
9、有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)f(k)_.答案k1解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面020(31)；五棱柱有5个对角面232(41)；六棱柱有9个对角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面9对于不等式n1 (nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时，11，不等式成立假设nk (nN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，.假设nk时，不等式成立则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析观察不等式中的分母变化知，.11求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，
10、不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即.则当nk1时，()()(3)，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12.已知数列an中，a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1a1，猜想成立(2)假设nk(kN*)时猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立三、探究
11、与拓展13.已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式(1)(1)(1)对任意nN*恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当n1时，命题成立(2)假设当nk时，不等式，成立，当nk1时，只要证 ，只要证，只要证2k2，只要证4k28k34k28k4，只要证34，显然成立所以，对任意nN*，不等式恒成立.
