1、试卷第 1页，总 3页20202021 学年度下学期期末考试高一（数学）试题一、单选题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个选项正确。）1某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有 8 人，则样本容量为（）A24B30C32D352甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图所示，甲乙两组数据的平均数分别为 xx甲乙，标准差分别为甲，乙，则（）A xx甲乙，甲乙B xx甲乙，甲乙D xx甲乙 甲乙3如图，在直棱柱111ABCA B C中，1,ABBCCC ABBC，E 为 BC 的中点，F 为11B C 的中点，则异面直线
2、AF 与1C E 所成角的正切值为（）A 2 55B 23C52D534如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，3AEAF，则 DF=（）A1233ABADB 1536ABADC1323ABADD 1334ABAD5若1cos 30sin3，则sin 302 （）A 13B13C 79D796若向量a，b满足：(1a，0)，(1b，3)，则b在 a上的投影向量为（）A aB 14 arC aD14 a7学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜 2 盘才最后获胜，小杰必须再胜 3 盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是 12，则小明连胜 2 盘并最后获胜的概率是A 14
3、B 38C 716D 15328在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,2 coscoscosa b caAbCcB，当 ABC的外接圆半径2R 时，ABC面积的最大值为（）A 4 3B3 3C 2 3D39已知 ABC是边长为 4 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则()PAPBPC的最小值是（）A 2B32C 3D 610在 ABC中，ABAC，D、E 分别在 AB、AC 上，/DEBC，3ADBD，将 ADE沿DE 折起，连接 AB，AC，当四棱锥 ABCED体积最大时，二面角 ABCD的大小为A 6B 4C 3D 2试卷第 2页，总 3页二、多选题(共 2 小题，每小题 5
4、 分，共 10 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。）11下列命题为真命题的是（）A若12,z z 互为共轭复数，则1 2z z 为实数B若 i 为虚数单位，n 为正整数，则 43nii C复数52i 的共轭复数为 2i D复数为 2i 的虚部为112已知，是两个不同的平面，m，n，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若 m，n，则m nB若，m，n，则mnC若l，m ，m ，则m lD若l，m，ml，则 m三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹
5、果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为_14已知一组数据 4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第 25 百分位数是_15如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角60MAN，C 点的仰角45CAB以及75MAC；从C 点测得60MCA已知山高500BCm，则山高 MN _m 16已知 ABCD 为同一球面上的四个点.在ABC 中，23BAC，2 3ABAC；AD=6，AD 平面 ABC，则该球的体积为_.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 1
6、2 分，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成40 50)，50 60)，60 70)，70 80)，80 90)，90 100，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数70 80)，内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；18已知函数3()=2sin cos()32f xxx.1 求函数()f x 的最小正周期；2 若()0f xm对0,2x恒成立，求实数 m 的取值范围.试卷第 3页，总 3页19
7、如图，正三棱柱111ABCA B C的底面边长是 2，侧棱长是3，D 是 AC 的中点.（1）求证：1/B C平面1A BD；（2）求三棱锥11DA B C的体积.202018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：10，20），20，30），30，40），40，50），50，60），60，70），70，80后得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这 40 人年龄的平均数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在50，70）的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中至少有
8、 1 人年龄不低于 60 岁的概率；（）已知该小区年龄在10，80内的总人数为 2000，若 18 岁以上（含 18 岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数.21在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且()()3bca bcabc.（1）求 A 的大小；（2）若1coscos8BC ，且 ABC的面积为 2 3，求 a 的值.22如图，边长为2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，AD 与CE 的交点为 M，ACBC，且 ACBC（1）求证：AM 平面 EBC；（2）求直线 EC 与平面 ABE 所成角正切值答案第 1页，总 5页参考答案1
9、C2B3A4B5D6A7C8B9D10C11AD12AC13 310144.715750.16 28 2117（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）173 3（1）设分数在70,80 内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有0.01 0.015 20.0250.005101x，可得0.3x 0，-3 分所以频率分布直方图为：-5 分（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是1170 107333，所以估计本次考试成绩的中位数为173 3.-10 分18 1 ；2(,1 解:1 因
10、为 32sincos32fxxx32sincos cossin sin332xxx1332sincossin222xxx答案第 2页，总 5页23sincos3sin2xxx13sin 2cos222xxsin 23x-4 分所以 f x 的最小正周期为22T-6 分 2“0f xm对0,2x恒成立”等价于“max0f xm”-7 分因为0,2x所以42,333x-8当232x，即12x时 f x 的最大值为112f.-10 分所以10m，所以实数 m 的取值范围为(,1.-12 分19（1）证明见解析；（2）12.（1）设1AB 与1A B 相交于点 P，则 P 为1AB 中点，连接 PD，
11、答案第 3页，总 5页 D 为 AC 中点，1/PD BC，又 PD平面1A BD，1/B C平面1A BD；-6 分（2）连接1DB，则1 111D A B CBA DCVV，在正三棱柱111ABCA B C中，1/BB平面11AAC C，则1B 与 B 到平面1DAC 的距离相等，D 为 AC 的中点，BDAC，又平面 ABC 平面11AAC C，且平面 ABC 平面11AAC CAC，BD 平面11AAC C，在等边三角形 ABC 中，由2AB，得3BD，又正三棱柱的侧棱长为3，1131322 DA CS，1 1111313322D A B CBA DCVV.-12 分20（1）37；（
12、2）（）35；（）1760.解：（1）平均数15 0.1525 0.235 0.345 0.1555 0.165750.0537x-4 分（2）（）样本中，年龄在50，70）的人共有 400.156 人，其中年龄在50，60）的有 4人，设为 a，b，c，d，年龄在60，70）的有 2 人，设为 x，y则从中任选 2 人共有如下 15 个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有如下 9 个基本事件：（a，x）
13、，（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）记“这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁”为事件 A，故所求概率 93155P A-8 分（）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频率为 1（1810）0.0150.88，答案第 4页，总 5页故可以估计，该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 20000.881760-12 分21（1）3；（2）4.解：（1）由()()3bca bcabc，得222bcabc，-2 分即222122bcabc，由余弦定理得1cos2A；-4 分又(0,)A，所以3A-6 分（2）由（1）可得 B+C
14、=23所以1cos()coscossinsin2BCBCBC；又因为1coscos8BC ，所以3sinsin8BC；-8 分所以ABC的面积为11sinsin2 3223ABCSbcAbc，解得8bc；-9 分由正弦定理2(sinsinsinabcR RABC为ABC外接圆的半径），所以2234sinsin488bcRBCR，解得43R；-10 分所以432 sin2423aRA.-12 分22（1）证明见解析；（2）33.（1）平面 ACDE 平面 ABC，平面 ACDE 平面 ABCAC，BCAC，BC 平面 ABC，BC平面 ACDE，答案第 5页，总 5页AM 平面 ACDE，AMB
15、C，因为四边形 ACDE 为正方形，则 ADCE，即 AMCE，BCCEC，所以，AM 平面 EBC；-6 分（2）取 AB 的中点 F，连接CF、EF，ACBC，F 为 AB 的中点，则CFAB，四边形 ACDE 为正方形，则 AEAC，平面 ACDE 平面 ABC，平面 ACDE 平面 ABCAC，AE 平面 ACDE，AE 平面 ABC，CF 平面 ABC，CFAE，AEABA，CF平面 ABE，所以，直线 EC 与平面 ABE 所成角为CEF，AE Q平面 ABC，AB 平面 ABC，AEAB，226EFAEAF，2211222CFABACBC，在 Rt CEF中，90CFE，故23tan36CFCEFEF，因此，直线 EC 与平面 ABE 所成角正切值为33.-12 分