1、第二讲 三角恒等变换与解三角形【知识回顾】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=_.(2)cos()=_.(3)tan()=_.sin cos cos sin cos cos sin sin tantan1tan tan 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=_.(2)cos2=_=_=_.(3)tan2=_.2sin cos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 22tan1tan3.辅助角公式 asinx+bcosx=sin(x+),其中tan=.4.正弦定理及其变形 在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径).22abbaasin Absin B
2、csin C变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=,sinB=,sinC=,abc=sinAsinBsinC.a2Rb2Rc2R5.余弦定理及其变形 在ABC中,a2=_;变形:b2+c2-a2=_,cosA=_.6.三角形面积公式 SABC=absinC=bcsinA=acsinB.b2+c2-2bccosA 2bccosA 222bca2bc121212【易错提醒】1.忽视解的多种情况:如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=,求C,再由正弦定理或余弦定理求边c,但解可能有多种情况.2.忽略角的范围:应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时
3、,要注意角的范围.3.忽视解的实际意义:求解实际问题,要注意解得的结果要与实际相吻合.【考题回访】1.(2016全国卷)若tan=,则cos2+2sin2 =()【解析】选A.cos2+2sin2=34644816A.B.C.1 D.252525222cos4sin cossincos 21 4tan64.tan125 2.(2016全国卷)在ABC中,B=,BC边上的高等于 BC,则cosA=()4133 1010103 10A.B.C.D.10101010【解析】选C.设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得SABC=所以c=a.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
4、B=a2+a2-2a a =a2.所以b=a.所以cosA=111aaacsin B.23223292322595322222252aaabca1099.2bc10522aa33 3.(2015全国卷)sin20cos10-cos160sin10=()【解析】选D.原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=.3311A.B.C.D.2222124.(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=_.【解析】因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,4551345513351213sinB=sin(A+C
5、)=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得 ,解得 答案:6365basin Bsin Aasin B63521bsin A6531321135.(2014全国卷)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为_.【解析】由a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,所以b2+c2-a2=bc,又由余弦定理得cosA=222bca12bc2，所以A=60,所以b2+c
6、2-4=bc,即b2+c2-bc=4,则bc4,所以SABC=bcsinA 4 =.答案:12123233热点考向一 三角变换及求值 命题解读:重点考查利用三角恒等变换解决化简求值、求角问题.以选择题、填空题为主,有时解答题也有出现.【典例1】(1)(2016全国卷)若 ,则sin2=()3cos()45 7117A.B.C.D.255525(2)(2016洛阳二模)若 ,且-0,则 =()1tan()42 222sinsin 2cos()4 2 53 53 52 5A.B.C.D.510105(3)(2016厦门一模)如图,圆O与x轴的正半轴的交点 为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限
7、,点B的坐标 为 ,AOC=.若|BC|=1,则 cos2 -sin cos -的值为_.125(,)1313322232【解题导引】(1)利用诱导公式变换角,建立已知角和未知角的联系,利用三角恒等变换公式求值.(2)利用两角和的正切公式,求出tan的值,将所求式子进行化简求值.(3)利用三角函数的定义及三角变换公式求解.【规范解答】(1)选D.因为 sin2=(2)选A.由 又-0,所以sin=-.故 3cos(),45 27cos(2)2cos()1.2425 tan111tan()tan.41 tan23 ,得2101022sinsin 22sin(sincos)2 52 2sin.52
8、cos()(sincos)42 (3)由题意得|OB|=|BC|=1,从而OBC为等边三角形,所以sinAOB=又因为 答案:5sin()313 ，231 cossin3 3cossincos32222222135sincossin().22313 513【规律方法】1.化简求值的方法与思路(1)方法:采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类,做到三角函数名称的统一;通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值;(2)基本思路:找差异,化同名(同角),化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数
9、值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.【题组过关】1.(2016海口二模)已知 则 sin 的值是()4 3sin()sin35 ，7()6 2 32 344A.B.C.D.5555【解析】选D.4 3sin()sinsincoscossinsin3533 4 3334 33147sincossincossin()52252256 ，故77314sin coscos sin(sincos).66225 2.(2016武汉一模)若tan=2tan ,则=()A.1 B.2 C.3 D.4 53c
10、os()10sin()5 【解析】选C.33cos()sin()sin()101025sin()sin()sin()555 sinsin coscos sincossin55cos55sinsin coscos sincossin55cos55sin 52cossin55cos3sin553.sinsin552cossin55cos 53.(2016长春一模)若cos(2-)=-,sin(-2)=,0 ,则+的 值为_.11144 3742【解析】因为cos(2-)=-且 2-,所以sin(2-)=.因为sin(-2)=且-2 ,所以cos(-2)=.111445 3144 374217所以c
11、os(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin(2-)sin(-2)=-+=.因为 +,所以+=.答案:11145 3144 37171243433【加固训练】1.(2016成都一模)=()A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】选D.31cos 10sin 1703131cos 10sin 170cos 10sin 103sin 10cos 102sin(1030)2sin 204.11sin 10 cos 10sin 20sin 2022 2.(2016德州一模)已知 ,则cos 等于()(,)2 3sin()45，27 2A.B.101027 27 2C.D
12、.101010或【解析】选A.因为 ,所以+因为 所以 所以(,)2 435(,).443sin()45，4cos()45 ，coscos()cossin()sin4444 42322.525210 热点考向二 正弦定理与余弦定理 命题解读:主要考查利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角与面积等基础问题,或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形,或利用正、余弦定理解决实际问题,三种题型都有可能出现.命题角度一 利用正、余弦定理进行边、角、面积的 计算【典例2】(2016昆明一模)在锐角ABC中,a,b,c是 角A,B,C的对边,且 a=2csinA.(1)求角C的大小.(2)若c=,且ABC
13、的面积为 ,求a+b的值.373 32【题目拆解】解答本例第(2)问,可拆解成两个小题:求ab的值;求a+b的值.【规范解答】(1)由正弦定理得:sinA=2sinCsinA,因为A,C是锐角,所以sinC=,所以C=60.(2)由已知得,ABC的面积S=absinC=,所以ab=6.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以(a+b)2=25,所以a+b=5.332123 32【母题变式】1.在本例条件下,求sinA+sinB的取值范围.【解析】由本例可知C=60,所以A+B=120,所以sinA+sinB=sinA+sin(120-A)=sinA+cosA+s
14、inA=sinA+cosA 32123232又ABC为锐角三角形,所以0A90,即A+30 ,所以 sin(A+30)故sinA+sinB的取值范围为 313(sin Acos A)3sin(A30).222()63，33(,3.23(,3.22.在本例条件下,若c=,求ABC面积的最大值.【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,即7=a2+b2-ab2ab-ab,所以ab7,所以SABC=absinC 7sin60=.故ABC面积的最大值为 .712127 347 34命题角度二 应用正、余弦定理解决实际问题【典例3】(1)(2016成都一模)某气象仪器研究所
15、按 以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹 射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面 ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个 观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(+)米 B.140 米 C.210 米 D.20(-)米 626262(2)(2016哈尔滨二模)如图,从气 球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气 球的高是46m,则河流的宽度BC约等于_m.(用 四舍五
16、入法将结果精确到个位.参考数据:sin67 0.92,cos670.39,sin370.60,cos37 0.80,1.73)3【解题导引】(1)利用余弦定理求AC,再利用正弦定理求仪器的垂直弹射高度CH.(2)结合图形构造适当的三角形,利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选B.由题意,设|AC|=x,则|BC|=x-40,在ABC内,由余弦定理:|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|CA|cosBAC,即(x-40)2=x2+10 000-100 x,解得x=420.在ACH中,|AC|=420,CAH=30+15=45,CHA=90-30=60,由正弦定理:可得|CH|=|AC|米
17、.CHAC.sin CAHsin AHCsin CAH140 6sin AHC(2)根据图中给出的数据构造适当的三角形求解.根据已知的图形可得AB=.在ABC中,BCA=30,BAC=37,由正弦定理,得 所以BC2 0.60=60(m).答案:60 46sin 67ABBCsin 30sin 37，460.92【规律方法】1.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.2.解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或
18、余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【题组过关】1.(2016遵义二模)在ABC中,A=,AB=6,AC=3 ,点D在BC边上,AD=BD,则AD的长为()342A.5 B.10 C.4 2 D.5 2【解析】选B.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是 a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-2 3 6cos =18+36-(-36)=90,所以a=3 .又由正弦
19、定理得sinB=342210bsin BAC310a103 10，由题设知0BAD,所以AD=3.(2)在ABD中,由正弦定理可知 又由cosBAD=,可知sinBAD=,所以sinADB=BDAB,sin BADsin ADB2 2313ABsin BAD6,BD3因为ADB=DAC+C,DAC=.所以cosC=.263【加固训练】1.(2016烟台一模)设ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状 为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【解析】选A.由题可知sinBcosC+sinCcosB=sin2A,
20、即sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,因为sinA0,所以sinA=1,因为0A,所以A=.所以ABC为直角三角形,故选A.22.(2016南昌一模)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形ABCD面积S的最大值为()A.30 B.2 30 C.4 30 D.6 30【解析】选B.根据题意,连接BD,则S=23 sinA+45sinC=3sinA+10sinC.根据余弦定理得,BD2=13-12cosA=41-40cosC,得10cosC-3cosA=7,两边同时平方得
21、100cos2C+9cos2A-60cosCcosA=49,得100sin2C+9sin2A=60-60cosCcosA,1212而S2=(3sinA+10sinC)2=100sin2C+9sin2A+60sinCsinA=60-60cosAcosC+60sinCsinA=60-60cos(C+A)120,所以S2 .303.(2016潍坊二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,已知 (1)求A的大小.(2)若a=6,求b+c的取值范围.ac.sin C3cos A【解析】(1)因为 所以 cosA=sinA,所以tanA=,因为0A,所以A=.acasin Csin A3c
22、os A，333(2)因为 所以b=4 sinB,c=4 sinC,所以b+c=4 sinB+4 sinC=4 sinB+sin(-A-B)abc64 3sin Asin Bsin Csin 3，333334 3sin Bsin(B)12sin(B)36，因为 ,所以6c.已知 =2,cosB=,b=3.求:a和c的值;cos(B-C)的值.BA BC13【解题导引】(1)利用等差数列的性质及三角恒等变换求解.(2)结合向量的数量积公式,将 转化为cacosB的形式,再根据题目所给条件由余弦定理可列出关于a与c的方程组,然后求解出a,c的值,由同角基本关系式结合正弦定理及两角差的余弦公式,可求
23、出cos(B-C)的值.BA BC【规范解答】(1)选D.由条件,得 tanC=tanB,tanA=tanB,所以ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=123225 tan Btan Ctan B12tan B31tan Ctan B21tan B2，得tanB=2,所以tanA=1,所以tan(B-A)=因为BA,所以cos(B-A)=.tan Btan A2 11.1tan Btan A1 2 13 3 1010(2)由 =2,得cacosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+26 =13.BA BC
24、131322ac6a2a3c3c2.ac13，解，得或，因为ac,所以a=3,c=2.在ABC中,sinB=由正弦定理,得sinC=因为a=bc,所以C是锐角.因此cosC=2212 21 cos B1(),33c22 24 2sinB.b339224 271 sin C1(),99则cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC 172 24 223.393927【易错警示】解答本题(2)易出现以下三种错误(1)解题中易忽略条件“ac”,而产生增解.(2)解题中易忽略角B为三角形内角,即sinB0,而产生增解.(3)未注明角C的限制条件而产生错解.【规律方法】与解三角形有关的交汇问题的
25、关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.【题组过关】1.(2016肇庆一模)ABC中角A,B,C的对应边分别为 a,b,c,满足 1,则角A的范围是()bcacabA.(0 B.(036C.)D.)36，【解析】选A.由 1,得b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),化简,得b2+c2-a2bc,即 即cosA (0A),所以0A ,故选A.bcacab222bca12bc2，1232.(2016成都一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量q=(2a,1),p=(2b-c,cosC),且pq
26、.(1)求sinA的值.(2)求三角函数式 的取值范围.2cos 2C11tan C【解析】(1)因为pq,所以2acosC=2b-c,根据正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC.又因为A+B+C=,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以 sinC=cosAsinC.12因为0C,所以sinC0,所以cosA=.又因为0A,所以A=,所以sinA=.(2)=1-2cos2C+2sinCcosC=sin2C-cos2C=12332222 cos Csin C2cos 2C11sin C1tan C1cos C 2sin(2C)4，因为0C 所以 所
27、以 所以 的取值范围是(-1,.2132C34412，所以，2sin(2C)124，12sin(2C)24，2cos 2C11tan C2【加固训练】1.(2016广州一模)在平面直角坐标系xOy中,已知 ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆 =1上,则 的值为_.22xy259sin Asin Csin B【解析】答案:BCBAsin Asin C2aa5.sin BAC2cc4542.(2016武汉一模)ABC的内角为A,B,C,点M为ABC 的重心,如果sinA +sinB +sinC =0,则内角A的大小为_.MAMB33MC【解析】由正弦定理,得 因为M是ABC的重
28、心,所以 所以b=a,c=a,所以cosA=所以A=.答案:3a MAb MBc MC.3 MAMBMC，03222a3aa322a3a，663.(2016成都二模)设函数f(x)=cos(2x-)+2cos2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取得最大值时x的 集合.(2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 f(B+C)=,b+c=2,求a的最小值.4332【解析】(1)因为f(x)=cos(2x-)+2cos2x=cos +1,所以f(x)的最大值为2.f(x)取最大值时,cos =1,2x+=2k(kZ),故x的集合为 43(2x)3(2x)33x|xk,kZ.6(2)由f(B+C)=可得 ,由A(0,),可得A=.在ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc =1,当b=c=1时bc取最大值,此时a取最小值1.3cos2 BC 132，1cos(2A)32332bc()2