1、高中总复习二轮文数 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系 高中总复习二轮文数 热点突破高考导航备选例题阅卷评析高中总复习二轮文数 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2015全国卷,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于()(A)3(B)6(C)9(D)12 12解析:因为抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线 l 的方程为 x=-2,设椭圆 E 的方程为22xa+22yb=1(ab0),所以椭圆 E 的半焦距 c=2,又椭圆 E的离心率为 12,所以 a=4,b=23,椭圆 E 的
2、方程为216x+212y=1,联立,解得 A(-2,3),B(-2,-3)或 A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选 B.B 高中总复习二轮文数 2.(2014全国卷,文 10)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|等于()(A)303(B)6 (C)12 (D)73 解析:抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F(34,0),所以 AB 所在的直线方程为 y=33(x-34),将 y=33(x-34)代入 y2=3x,消去 y 整理得 x2-212x+916=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系
3、数的关系得x1+x2=212,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=212+32=12,故选 C.C 高中总复习二轮文数 3.(2016全国卷,文 21)已知 A 是椭圆 E:24x+23y=1 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(1)解:设 M(x1,y1),则由题意知 y10.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 4.又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入24x+23y=1 得 7y2-12y=0.解得 y=0 或 y=127,所以
4、 y1=127.因此AMN 的面积 SAMN=2 12 127 127=14449.高中总复习二轮文数(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k0),代入24x+23y=1 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由 x1(-2)=22161234kk得 x1=222 3434kk,故|AM|=|x1+2|21k=2212 134kk.由题设,设直线 AN 的方程为 y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=2212134kkk.3高中总复习二轮文数 由 2|AM|=|AN|得2234k=234kk,即 4k3-6k2+3k-8=0.设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k
5、是 f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在(0,+)上单调递增.又 f(3)=153-260,因此 f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点 k 在(3,2)内,所以3 k2,即 m2+n24.所以点(m,n)在椭圆29x+24y=1 的内部,因此过点(m,n)的直线与椭圆29x+24y=1 的交点有 2 个,故选 B.高中总复习二轮文数 考向2 由位置关系求参数范围【例2】过点A(0,1),斜率为k的直线l与抛物线y2=4x有两个不同的交点,则k的范围为 .解析:直线 l 的方程为 y=kx+1.联立方程组21,4,ykxyx 得 k2x2+(
6、2k-4)x+1=0,由题意得2220,24410,kkk 解得 kb0)经过点 P(2,2),一个焦点为 F(2,0).(1)求椭圆 E 的方程;解:(1)由题意知 c=2,b2=a2-4,代入 P 点的坐标得24a+224a=1,解得 a2=8,所以椭圆 E 的方程为28x+24y=1.高中总复习二轮文数(2)设直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点,O为坐标原点,椭圆E的离心率为e,若kOAkOB=e2-1.求证:AOB的面积为定值.解:(2)e=ca=22 2=22,所以 kOAkOB=e2-1=-12,将 y=kx+m 代入28x+24y=1,化简得(1+2k2)x2+4kmx
7、+2m2-8=0.记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2412kmk,x1x2=222812mk,因为 kOA=11yx,kOB=22yx,所以1212y yx x=-12,所以 y1y2=-12x1x2=22412mk,而 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=222812mkk,所以 m2=4k2+2,高中总复习二轮文数 设点 O 到直线 AB 的距离为 d,则 d=21mk=22421kk,而|AB|=22121 214kxxx x=222216483212kkmk,代入 m2=4k2+2 得|AB|=21k 224 2112
8、kk,所以 SAOB=1222421kk21k 224 2112kk=22,所以AOB 的面积为定值 22.高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长;(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.(3)圆锥曲线中的面积问题要注意面积公式的选择.高中总复习二轮文数 解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4,设 M(x,y),则 CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),由题设知 CM MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,则(x-1)2+(y-
9、3)2=2.由于点 P 在圆 C 内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.热点训练2:(2014全国卷,文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;高中总复习二轮文数 解:(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,2 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-13,故 l 的方程为 y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O 到 l
10、 的距离为 4 105,|PM|=4 105,所以POM 的面积为165.(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.高中总复习二轮文数 求轨迹方程 热点三 解:由题设知 F(12,0).设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,且 A(22a,a),B(22b,b),P(-12,a),Q(-12,b),R(-12,2ab).记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1=21aba=2abaab=1a=aba=-b=k2.所以 ARFQ.
11、【例4】(2016全国卷,文20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;高中总复习二轮文数(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解:(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12|,SPQF=2ab.由题设可得 2 12|b-a|x1-12|=2ab,所以 x1=0(舍去)或 x1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE,
12、可得2ab=1yx (x1).而2ab=y,所以 y2=x-1(x1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.高中总复习二轮文数 解:如图所示,设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点 M 到两定点 C2,C1的距离的差是常数 2,且 2|MC1|,故动圆 M 圆心的轨迹为以定点 C2,C1为焦点的双曲线的左支,则 2a=2,所以 a=1,又 c=3,则 b2=c2-a
13、2=8.设动圆 M 圆心的坐标为(x,y),则动圆 M 圆心的轨迹方程为 x2-28y=1(x-1).【方法诠释】定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.定义法求轨迹方程 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆M圆心的轨迹方程.高中总复习二轮文数【方法技巧】求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x
14、,y之间的关系f(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.(3)定义法.(4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数法:当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.高中总复习二轮文数 解:(1)动点 Q 满足OQ=1PF+2PF,又1PF+2PF=-2 OP,设 Q(x,
15、y),则 OP=-12 OQ=-12(x,y)=（-12x,-12y）.因为点 P 在椭圆上,则222x+（-2y）2=1,即28x+24y=1.热点训练 3:(2016河北邯郸一中质检)已知点 P 是椭圆22x+y2=1 上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O 为坐标原点,动点 Q 满足OQ=1PF+2PF.(1)求动点 Q 的轨迹 E 的方程;高中总复习二轮文数(2)若与坐标轴不垂直的直线l交轨迹E于A,B两点且OAOB,求OAB面积S的取值范围.解:(2)当 OA 斜率不存在或为零时,S=12222=22.当 OA 斜率存在且不为零时,设 OA:y=kx(k0),代入 x2+2y2=
16、8,得 x2=2821k,y2=22821kk,所以|OA|2=x2+y2=228121kk.因为 OAOB,以-1k代替 k,同理可得|OB|2=22812kk,所以 S2=14|OA|2|OB|2=2222161212kkk=8（1-221225kk）,2k2+22k 22222kk=4,当且仅当 k=1 时等号成立.而 k=1 时,AB 与 x 轴或 y 轴垂直,不合题意.所以2k2+22k(4,+),所以 649S28,所以 83Sb0)的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且经过点 P（1,32）.(1)求椭圆 C 的方程;解:(1)因为 c=1,21a+294b=1,a2=b
17、2+c2,所以 a=2,b=3,所以椭圆 C 的方程为24x+23y=1.高中总复习二轮文数(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(2)假设存在符合条件的点 M(x0,y0),设直线 l 的方程为 x=my-1,由221,3412xmyxy消去 x 得(3m2+4)y2-6my-9=0,由条件知0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2634mm,所以 AB 的中点为(-2434m,2334mm),因为四边形AMBF2为平行四边形,所以 AB 的中点与 M
18、F2的中点重合,即020214,2343.234xmymm 所以M（-2231234mm,2634mm）,把点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程得 27m4-24m2-80=0,解得 m2=209,所以存在符合条件的直线 l,其方程为 y=3 510(x+1).高中总复习二轮文数 解:(1)因为 F(-1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1,又 b2=3,所以 a2=4,所以椭圆方程为24x+23y=1.【例 2】(2016甘肃河西五市部分普通高中联考)已知椭圆 M:22xa+23y=1(a0)的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于C,D 两点
19、.(1)求椭圆方程;高中总复习二轮文数(2)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长;解:(2)因为直线的倾斜角为 45,所以直线的斜率为 1,所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到221,431,xyyx消掉 y,得到 7x2+8x-8=0,所以=288,x1+x2=-87,x1x2=-87,所以|CD|=21k|x1-x2|=247.高中总复习二轮文数(3)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.解:(3)当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=-1,此时 D（-1,32）,C（-1,-32）,ABD,ABC 面积相等,|S1-S2|=0.当直线 l 斜
20、率存在(显然 k0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k0),设 C(x1,y1),D(x2,y2),由221,431xyyk x 消掉 y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然0,方程有根,且 x1+x2=-22834kk,x1x2=2241234kk,此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=21234kk.因为 k0,上式=1234 kk 12324 kk=122 12=3（k=32时等号成立）,所以|S1-S2|的最大值为3.高中总复习二轮文数 阅卷评析 抓关键练规范 直线与圆锥曲
21、线的位置关系 (2016全国卷,文20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求 ;OHON评分细则:解:(1)由已知得 M(0,t),P（22tp,t）.1 分 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N（2tp,t）,ON 的方程为 y=ptx,代入 y2=2px 整理得px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2=22tp.因此 H（22tp,2t）.4 分 所以 N 为 OH 的中点,即 OHON=2.6 分 注:得出 M,P 坐标得 1 分;求出 H 的坐标得
22、3 分;写出 OHON 的比值得 2 分.高中总复习二轮文数(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.评分细则:解:(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.7 分 理由如下:直线 MH 的方程为 y-t=2ptx,即 x=2tp(y-t).9 分 代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.12 分 注:作出判断得 1 分;写出 MH 方程得 2 分;通过计算分析得出结论得 3 分.高中总复习二轮文数【答题启示】1.作图,利用数形结合思想,根据抛物线的定义和几何性质及图形的直观性寻找解题思路,并准确转化已知条件;2.代数法,判断直线和圆锥曲线交点个数(位置关系),转化为方程组解的个数问题进行判断,准确求出直线方程并得到相应方程是关键.高中总复习二轮文数 点击进入 限时训练