1、目标导航1理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面2会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3掌握三个公理并会简单应用(难点、易混点)知识点一平面1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成 45，且横边长等于其邻边长的如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来如图.图 图3平面的表示法图的平面可表示为.无限延展平行四边形2 倍虚线平面、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD【练习 1】下列四种说法正确的是_平面的形
2、状是平行四边形；任何一个平面图形都可以表示平面；平面 ABCD 的面积为 100 cm2；空间图形中，后作的辅助线都是虚线解析：错，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；错，平面不能度量；错，看不到的线画成虚线；显然正确答案：知识点二平面的基本性质填表公理内容图形符号公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且 A，Bl公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线存在唯一的 使 A，B，C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且 Pl，且 Pl【练习 2】(1)过三个点的
3、平面的个数是()A0 B1C2 D1 或无数(2)如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A没有其他公共点B仅有这一个公共点C仅有两个公共点D有无数个公共点解析：(1)当三点不共线时，根据公理 2 知，过三点的平面有 1 个当三点共线时，过三点的平面有无数个故选 D.(2)由公理 3 知，两个平面只要有一个公共点，就有一条过该点的公共直线，故选 D.答案：(1)D(2)D2 新视点名师博客1.平面的特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分2公理的推论推论 1：经过一条直线和
4、直线外的一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面.3 新课堂互动探究 考点一平面的概念及画法例 1 (1)下列命题：书桌面是平面；8 个平面重叠起来要比 6个平面重叠起来厚；有一个平面的长是 50 m，宽为 20 m；平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为_(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是_ 分析：(1)根据平面的特点进行判断；(2)观察平面被遮住的部分是否画成虚线解析：(1)由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题、都
5、不正确(2)对于，图中没有画出平面 与平面 的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此的画法不正确同样的道理，也可知、图形的画法不正确，中图形画法正确答案：(1)1(2)点评：(1)平面是一个不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的(2)在平面几何中，辅助线均画成虚线；而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线均画成虚线，无论是题中原有的，还是后添加的辅助线，凡是不被遮住的线均画成实线 变式探究 1 下列说法中正确的是_平行四边形是一个平面；任何一个平面图形都是一个平面；平静的太平洋面就是一个平面；圆和平行四边形都可以表示平面解析
6、：不正确我们可以用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面平行四边形仅是平面上由四条线段构成的图形，它是不能无限延展的不正确平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，它是不能无限延展的不正确太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平的，太平洋面只是给我们一种平面的印象正确在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可以用三角形、梯形、圆等来表示平面答案：考点二三种语言的转换例 2根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.分析：正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”，“”，“
7、”，“”，“”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译解析：(1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内(2)直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上(3)直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q.图形分别如图、所示点评：三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线变式探究 2 用符号语言表示下列语句，并画出图形(1)三个平面、相交于一点 P，且平面 与平面 交于 PA，平面 与平面 交于 PB，平面 与平面 交于 PC；(2)平面 ABD 与平面 BCD 相交于 BD，平面 ABC 与平面
8、ADC 交于 AC.解析：(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC.用图形表示：(2)符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面 ADCAC.图形表示：考点三共面问题例 3证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内分析：由两条相交直线确定一个平面，再证第三条直线在确定的平面内，也可利用平面重合法证明解析：已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线 l1、l2、l3 在同一平面内证法 1：(纳入平面法)l1l2A，l1 和 l2 确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证 C.又Bl3，Cl3，l3.直线 l1、l2、l3 在同一个平面内证法
9、2：(辅助平面法)l1l2A，l1、l2 确定一个平面.l2l3B，l2、l3 确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证 B，B，C，C.不共线的三个点 A、B、C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内点评：在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内；(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内变式探究 3 已知直线 ab，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过a，b，l 有且只有一
10、个平面解析：证法一：如图所示，由已知 ab，所以过 a，b 有且只有一个平面.设 alA，blB，A，B，且 Al，Bl.l.即过 a，b，l 有且只有一个平面证法二：由已知可设 laA，lbB.laA，过 l 与 a 有且只有一个平面.ab，过 a，b 有且只有一个平面.B，B，a，a.又b，平面 与 重合即 ab，alA，blB过 a，b，l 有且只有一个平面考点四点共线问题例 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D，A，Q 三点共线分析：欲证 D，A，Q 三点共线，只需说明
11、三点均在平面 AD1 和平面 AC 的交线 DA 上即可解析：MNEFQ，Q直线 MN，Q直线 EF.又M直线 CD，N直线 AB，CD平面 ABCD，AB平面ABCD，M，N平面 ABCD，MN平面 ABCD.Q平面 ABCD.同理，可得 EF平面 ADD1A1，Q平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1AD，Q直线 AD，即 D，A，Q 三点共线点评：点共线的证明方法：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上变式探究 4 如图，不在同一平面内的两个三角形A
12、BC 和A1B1C1，AB 与A1B1 相交于 P，BC 与 B1C1 相交于 Q，AC 与 A1C1 相交于 R，求证：P，Q，R 三点共线证明：ABA1B1P，PAB，PA1B1.AB平面 ABC，P平面 ABC.又A1B1平面 A1B1C1，P平面 A1B1C1.P 在平面 ABC 与平面 A1B1C1 的交线上同理可证 Q，R 也都在平面 ABC 与平面 A1B1C1 的交线上根据公理 3 知两个平面的交线有且只有一条，故 P，Q，R 三点共线.考点五线共点问题例 5如图，已知平面，且 l.设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD.求证：AB，CD，l 共点分析：证明 AB 与
13、CD 的交点在 与 的交线 l 上解析：因为梯形 ABCD 中，ADBC，所以 AB，CD 是梯形 ABCD的两腰，所以 AB，CD 必定相交于一点如图，设 ABCDM.又因为 AB，CD，所以 M，且 M，所以 M()又因为 l，所以 Ml，即 AB，CD，l 共点点评：线共点与点共线的证明思路：(1)证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这些点重合，从而得三线共点；(2)证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在
14、两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上变式探究 5 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 A1A 的中点求证 CE，D1F，DA 三线共点证明：EF 綊12CD1，直线 D1F 和 CE 必相交，设 D1FCEP，D1F平面 AA1D1D，PD1F，P平面 AA1D1D.又 CE平面 ABCD，PEC，P平面 ABCD，P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点又平面 ABCD平面 AA1D1DAD，PAD，CE，D1F，DA 三线共点.4 新思维随堂自测1.2014福州高一检测下列说法正确
15、的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面解析：A 错误，不共线的三点可以确定一个平面B 错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C 错误，四边形不一定是平面图形D 正确，两条相交直线可以确定一个平面答案：D2下列四个命题：三点确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；若四点不共面，则每三点一定不共线；三条平行线确定三个平面其中正确的有()A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：不共线的三点确定一个平面；一条直线和直线外一点确定一个平面；若四点不共面，则每三点一定不共线，故正确；不共面的三条平行线确定三个平面答案：A3
16、如图，l，A、B，C，Cl，直线 ABlD，过 A，B，C 三点确定的平面为，则平面，的交线必过()A点 AB点 BC点 C，但不过点 DD点 C 和点 D解析：A、B、C 确定的平面 与直线 BD 和点 C 确定的平面重合，故 C、D，且 C、D，故 C，D 在 和 的交线上答案：D4下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线 与 重合解析：当 l，Al 时，也有可能 A，如 lA，故 C 错答案：C5如图，已知空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且BGGCDHHC2.求证：直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.证明：E、F 分别是 AB、AD 的中点，EFBD 且 EF12BD，又BGGCDHHC2，GHBD 且 GH13BD，EFGH 且 EFGH，四边形 EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰 EG、FH 相交于一点 P，EG平面 ABC，FH平面 ACD，P平面 ABC，P平面 ACD，又平面 ABC平面 ACDAC，PAC，故直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.