1、4.3对数4.3.1对数的概念数学背景 16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发展.欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算.但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率.该怎么办呢？请计算下面的式子(不使用计算器)：156132)4(16384)3(1284096)2(25632)1(16世纪德国数学家斯蒂菲尔研究了下面两行数:01234567891011121248163264 128 256 512 1024 2048 4096 斯蒂菲尔发现了一个规律：xNN=2x13858522225
2、71271222227142278128 256思考：132和156能否也写成2x的形式？33.1429.704.7222查表：数的乘法/乘方/开方指数加/减法等 德国数学家斯蒂菲尔的对数表：01234567891011121248163264128256512102420484096xN苏格兰数学家纳皮尔的对数表：xN2710)1(107xeN 英国数学家布里格斯的对数表：xN10NxNxNx1 0 6 0.77815125038364 11 1.04139268515822 2 0.30102999566398 7 0.84509804001426 12 1.07918124604762
3、3 0.47712125471966 8 0.90308998699194 13 1.11394335230683 4 0.60205999132796 9 0.95424250943932 5 0.69897000433602 10 1 数学背景对数表的演变 778.0106 114.11013x101480 抽象背景，引入概念 12 x0 x42 x2 x242 x25 x52 x3.92 x?x?x5log 2x3.9log 2x214 x21log 4x以2为底5的对数以2为底9.3的对数以4为底21的对数Nax Nxalogx是以a为底N的对数对数：logarithm对数源于指数.欧
4、拉一、对数的概念 1.对数的定义：一般地,若ax=N(a0且a1),则数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN(a0且a1,N0).其中a叫做对数的底数，N叫做真数.如：若42=16，则2=log416，读作2是以4为底16的对数.对数:logarithm注：当a0且a1时，ax=Nx=logaN；对数的意义：表示指数式中的指数，减轻思维和运算负担；loga1=；logaa=；01真数N0：负数和0没有对数对数和指数运算互为逆运算常用对数：以10为底的对数log10N，简记作lg N；自然对数：以e为底的对数logeN，简记作ln N；无理数e=2.71828数学文化“对数”的评价 布里格
5、斯说：对数的发明，延长了天文学家的寿命.伽利略说：给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙.恩格斯说：对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就.NaNxxa log124096log410000lg2.1log;01log.0,10aNaaaa且巩固概念一 对数:logarithm8log32mln3 31log3127932 ne3.28113 4.5,00001.010 xx巩固概念二 对数:logarithm22552 3001.010 3 014.00 1ee11.27)31(3 x).7(7,7,4924舍去xxx.21,21,xxee xNaNa?,lo
6、g即求求xe 2ln68logx巩固概念三 对数:logarithm练习1求下列各式中x的值.(1)log3(lg x)=1(2)log2(logx 16)=2 .100010,3lg:3 xx解)2(2,16,4216log:42舍去解xxx.02lglg:32xx解方程练习).2(log)12(log:2255xx解方程练习0201221222xxxx._)2(log12的取值范围是有意义的使式子变式xxx2x,0)1)(lg2(lg:xx原方程可化为则解;100,2lgxx时.10110,1lg1 xx时.101100或方程的解为4.3.2对数的运算定义延伸._,logNaa根据对数的定
7、义,log Nxa令,Na x 由定义知.Nax 原式N对数恒等式 813:)3(_;6)2(_;2_;3)1()12(log2log17log5log5log36523x解方程5 757log5 7 26662log68112x.40 x方程的解3 提出问题 Q1:引入对数之后，自然应研究对数的运算性质，怎样研究？Q2:知道了指数与对数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质？aman=am+n aman=am-n (am)n=amn.log,log,NnMmaNaMaanm则令NMaaaNMloglogMNaalogNaNalog:对数恒等式NMMNaaalogloglogN
8、MaaaNMloglogNMaalogNMNMaaalogloglogMnmnaMamnanalogloglogMnManaloglog对数的运算性质 NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog3log2log5lg2lg)927(log6623当a0且a1,N0,M0时：MnManaloglog31ln3ln01loglog:MMaa推论)24(log100lg572515log5log33(真数)积的对数=对数的和(真数)商的对数=对数的差2ln,log3log:2232exx如32)(log:x区分32lnlnzyx原式32lnlnlnzyxzyxln31ln21l
9、n2zyxlglglgzyxzxylglg2lglglg2zyxlg21lg3lgzyxlglg2lg21NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog)(loglogRnMnManaNaNalog:3,1,1个对数运算性质个对数恒等式个概念NaNxxa log对数的实际应用在生物领域，由碳14含量求生物死亡年数；化学领域，对数用于计算PH值pH=-lgH+在地理领域，对数用于计算地震强度；在物理领域，对数用于测量声音的分贝10lg(P/Pref)0,)21(:5730114xyyCxx含量与体内死亡年数里氏地震规模：M=lg(I/S)距离震中100km处的最大水平位移为I;
10、“标准地震”的最大振幅为S(通常S=1m)7878107lg,8lgIISISI每升1级，最大振幅扩大10倍，能量释放扩大30倍,95.18.4lg1E依题意得,85.18.4lg2E,lg5.1lglg1212EEEE两式相减得,3210 5.112EE利用计算器可得.32,0.80.9倍为后者的但前者释放的能量却约级地震仅相差一级级地震与里氏虽然里氏;80100:;7920100:及以上血液中酒精含量达到醉酒驾车血液中酒精含量达到酒后驾车mgmLmgmLmgmL100100血液中酒精含量xxyhxymL7.0100%)301(100):(100,的关系为单位与时间血液中酒精含量停止喝酒后,
11、207.0100,20 xy即要使,2.07.0 x即,51.42.0log,2.07.07.0 xx时当.5.4才能驾驶该驾驶员至少要经过h?7log3x099.13ln693.02ln,3log 2x设,32 xx2ln3ln2lnx2ln3lnx,logxba设,ba x xccabloglogaxclog.loglogabxcc585.1abbccalogloglog对数换底公式 abbccalogloglog当a,c0且a,c1,b0时：ababbalnlnlglglog:1或常用5log8log85 2log5log4log3log)1(35432)2log2)(log3log3)
12、(log2(9384abbalog1log:1推论_10log,3lg,2lg12则若ba),(loglog:2Rnmbmnbanam推论18lg5lg5lg8lg15lg2lg4lg5lg3lg4lg2lg3lg(底不同运算)对数换底公式的灵活运用一.12log,66,2log146表示并用求已知例aaaa4log12log12log:664解2662log)26(log2log22log6log666aa21.45log,518,9log3618表示用已知变式baab.5log,9log:1818ba解36log45log45log181836)49(log)59(log18184log9
13、log5log9log181818184log18 aba2log218 aba)9log18(log21818 abaabaaaba2)1(2)118log(18暗含思路：底换为6思路：底换为1825212对数换底公式的灵活运用一.12log,2log146表示用已知例aa4log12log12log:664解2662log)26(log2log22log6log666aa21.45log,518,9log13618表示用已知变式baab 36log45log45log181836)218(log)59(log18182log18log5log9log181818182log118ba)9l
14、og18(log11818baabaaba211.5log,9log:1818ba解)118log(18暗含思路：底换为6思路：底换为18对数换底公式的灵活运用一.56log,7log,3log24232表示用已知变式nmnm思路一：底换为2思路二：底换为3思路三：底换为10思路四：底换为e42log56log56log22426log7log8log7log22223log 2m3log7log22n3log2log7log2log37log22222mmnmn13mn7log 2对数换底公式的灵活运用二._12,36432baba则若例.36log,36log:)1(43ba由题意得法36
15、log136log21243ba4log3log23636 思路:a=?b=?1)43(log236abbalog1log,36log4log3log63643:)2(666baba为底的对数得同时取以对法,24log3log66ba4log213log1266ba1)23(log6已知指数连等式时，可化为对数式,或同时取同底对数对数换底公式的灵活运用二?,?,:zyx思路._,0111,1,3abczyxcbacbazyx则且的正数是不为若例,:Ncbazyx设解.log,log,logNzNyNxcba则NNNzyxcbalog1log1log1111cbaNNNlogloglog0log
16、abcN.10 Nabcabbalog1log.,1112,532的值求已知变式zyxzyxzyx1 对数换底公式的灵活运用二,532:kzyx设解.log,log,log532kzkykx则kkkzyx532log1log1log21125log3log2log2kkk160log)532(log2kk.60kabbalog1log.,1112,532的值求已知变式zyxzyxzyx,30log160log22x,20log160log23y.12log160log55z课内作业P126-第3题(3)(6)第4题(3)(4)第5题(2)(3)第6题._,34,422xyxwayx取得最小值时当已知思考FIGHTING