1、第四节数列求和考纲传真1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形：；.4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数
2、，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)
3、(4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1B.C.D.Ban，S5a1a2a51.3(2016广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前9项和S9等于()A9B18C36D72Ba2a84a5，即a4a5，a54，a5b4b62b54，b52，S99b518，故选B.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_. 【导学号：31222188】2n12n2Sn2n12n2.5321422523(n2)2n_.4设S345(n2)，则S345(n2).两式相减得S3.S334.分组转
4、化求和(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，).2分设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，).5分(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.7分从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.12分规律方法分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，c
5、n为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练1(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得则2分又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*.5分(2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.8分设数列b
6、n的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn12分裂项相消法求和(2016重庆南开二诊)若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)记cn，求cn的前n项和Sn.解(1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14.2分Ann23n，Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，当n1时，b1B18，当n2时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18适合上式，bn6n2.5分(2)由(1)知cn，7分Sn.12分规律方法1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或
7、多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项变式训练2(2017石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和解(1)由已知得解得3分所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1.5分(2)bn，8分所以Tn.12分错位相减法求和(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前
8、n项和Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.2分设数列bn的公差为d.由即解得所以bn3n1.5分(2)由(1)知cn3(n1)2n1.7分又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，9分两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.12分规律方法1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论2在书写“
9、Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练3(2016广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，首项为a1.S36，S515，即解得3分an的通项公式为an a1(n1)d1(n1)1n.5分(2)由(1)得bn，6分Tn，式两边同乘， 得Tn，得Tn1，10分Tn2.12分思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过
10、通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.课时分层训练(三十一)数列求和A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于() 【导学号：31222189】An
11、21B2n2n1Cn21Dn2n1A该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.2(2016安徽江南十校3月联考)在数列an中，an1an2，Sn为an的前n项和若S1050，则数列anan1的前10项和为()A100B110C120D130Canan1的前10项和为a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.故选C.3(2016湖北七校2月联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二
12、天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里B96里C48里D24里B由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则378，解得a1192，则a296，即第二天走了96里故选B.4(2016江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A5B6C7D16C根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，5，6，1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为561(5)(6)(1)0.又因为16264，所以这个数
13、列的前16项之和S162077.故选C.5已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2 017() 【导学号：31222190】A.1B.1C.1D.1C由f(4)2得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017()()()()1.二、填空题6设数列an 的前n项和为Sn，且ansin，nN*，则S2 016_. 【导学号：31222191】0ansin，nN*，显然每连续四项的和为0.S2 016S45040.7对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列
14、an的前n项和Sn_.2n 12an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.8(2017广州综合测试(二)设数列an的前n项和为Sn，若a212，Snkn21(nN*)，则数列的前n项和为_令n1得a1S1k1，令n2得S24k1a1a2k112，解得k4，所以Sn4n21，则数列的前n项和为.三、解答题9(2017成都二诊)已知数列an中，a11，又数列(nN*)是公差为1的等差数列(1)求数列an的通项公式an；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)数列是首项为2，公差为1的等差数列，2(n1)n1，3分解得an.5
15、分(2)an2，Sn22.12分10(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得3分所以an的通项公式为an.5分(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；8分当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知等比数列an的各项都为正数，且当n3时，a4a2n410
16、2n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，2n1lg an，的前n项和Sn等于() 【导学号：31222192】An2nB(n1)2n11C(n1)2n1D2n1C等比数列an的各项都为正数，且当n3时，a4a2n4102n，a102n，即an10n，2n1lg an2n1lg 10nn2n1，Sn122322n2n1，2Sn12222323n2n，得Sn12222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.2(2017合肥二次质检)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an2n，则Sn_.n2n(nN*)由Sn2an2n得当n1时，S1a12；当n2
17、时，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)，当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)3(2017广州综合测试(二)设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n2时，由an12Sn3得an2Sn13，两式相减，得an1an2Sn2Sn12an，an13an，3.当n1时，a13，a22S132a139，则3.3分数列an是以a13为首项，公比为3的等比数列an33n13n.5分(2)法一：由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n，7分Tn13332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，得2Tn1323223323n(2n1)3n132(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n16(2n2)3n1.10分Tn(n1)3n13.12分法二：由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n.7分(2n1)3n(n1)3n1(n2)3n，Tnb1b2b3bn(03)(330)(23433)(n1)3n1(n2)3n(n1)3n13.12分
