1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 四十数学归纳法(20分钟35分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+k2,当n=k+1时,左边=1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.【加固训练】1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明
2、1-+-+-=2时,若已假设n=k(k2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.2.(2016南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+
3、(2k)2+(2k+1)2+2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.2.(2016岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+(nN*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+=,整理得2n128,解得n7,所以初始值至少应取8.3.用数学归纳法证明2n2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.4.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f
4、(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=(个)区域.二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2016日照模拟)用数学归纳法证明:“1+1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推理n=k+1时,左边应增加的项数是.【解析】当n=k时,要证的式子为1+k;当n=k+1时,要证的式子为1+2,f(8),f(16)3,f(32),则其一般结论为.【解析】因为f(22),f(23
5、),f(24),f(25),所以当n2时,有f(2n).故填f(2n)(n2,nN*).答案:f(2n)(n2,nN*)7.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n4时,f(n)=(用n表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想f(n)=2+3+4+(n-1)=(n4).答案:5(n+1)(n-2)(20分钟40分)1.(5分)(2016天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:
6、“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立,则f(10)100成立B.若f(2)0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(nN*).(2)当n=1时,a1=1猜想正确.假设n=k(k1,kN*)时猜想正确,则ak=.则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=.5.
7、(13分)(2016九江模拟)设数列an的前n项和为Sn,并且满足2Sn=+n,an0(nN*).(1)猜想an的通项公式,并用数学归纳法加以证明.(2)设x0,y0,且x+y=1,证明:+.【解题提示】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可猜想an,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法,结合x0,y0,x+y=1,利用基本不等式进行证明.【解析】(1)分别令n=1,2,3,得因为an0,所以a1=1,a2=2,a3=3.猜想:an=n.由2Sn=+n,可知,当n2时,2Sn-1=+(n-1),-,得2an=-+1,即=2an+-1.(i)当n=2时,=2a2+12-1,
8、因为a20,所以a2=2,等式成立.(ii)假设当n=k(k2)时,ak=k,那么当n=k+1时,=2ak+1+-1=2ak+1+k2-1=0,因为ak+10,k2,所以ak+1+(k-1)0,所以ak+1=k+1.即当n=k+1时也成立.所以an=n(n2).显然n=1时,也成立,故对于一切nN*,均有an=n.(2)要证+,只要证nx+1+2+ny+12(n+2).即n(x+y)+2+22(n+2),将x+y=1代入,得2n+2,即只要证4(n2xy+n+1)(n+2)2,即4xy1,因为x0,y0,且x+y=1,所以=,即xy,故4xy1成立,所以原不等式成立.关闭Word文档返回原板块