1、第十章概率深研高考备考导航为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年随机事件的概率全国卷T18全国卷T18全国卷T19全国卷T18古典概型全国卷T3全国卷T5全国卷T4全国卷T13全国卷T13全国卷T3全国卷T13几何概型全国卷T8重点关注综合近5年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1从考查题型看：一般有1个客观题或1个解答题；从考查分值看，占517分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解能力2从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型3从命题思路上
2、看：(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查(2)概率的计算主要考查古典概型的应用导学心语1全面系统复习，深刻理解知识本质(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念，复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用，注意公式适用的条件2熟练掌握解决以下问题的方法与规律(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法(2)古典概型概率与几何概型概率的计算利用强化训练，总结规律方法，提升认识3重视转化与化归思想的应用(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解(2)将古典概型概率计
3、算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交汇渗透第一节随机事件的概率考纲传真1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式1概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，
4、因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A
5、B且AB3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)；若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值()(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)袋
6、中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()ABCDB至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，中两事件是对立事件3(2016天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A.B.C.D.A事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.4(2017郑州调研)集合A2,3，B1,2,3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是_从A，B中各取一个数有(2,1)，(2
7、,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)，故所求事件的概率P.5一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_(填序号)至多有一次中靶；两次都中靶；只有一次中靶；两次都不中靶随机事件间的关系(2017中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()ABCDC从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中
8、“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件规律方法1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系2准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生变式训练1口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A“取出的2球同色”，B“取出的2球中至少有1个黄球”，C“取出的2球至少有1
9、个白球”，D“取出的2球不同色”，E“取出的2球中至多有1个白球”下列判断中正确的序号为_. 【导学号：31222392】A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则不正确显然A与D是对立事件，正确；CE为必然事件，正确由于P(B)，P(C)，所以不正确随机事件的频率与概率(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a
10、1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.4分(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，
11、故P(B)的估计值为0.3.8分(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.0510分调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.12分规律方法1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率2频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频
12、率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值变式训练2(2017西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解(1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分以频率估计概率，在4月份任选一
13、天，西安市不下雨的概率为.5分(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f.10分以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.12分互斥事件与对立事件的概率某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的
14、值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； 【导学号：31222393】(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由题意，得解得x15，且y20.2分该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计又1.9，估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分(2)设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率”7分将频率视为概率，得P(B)，P(C).B
15、，C互斥，且BC，P()P(BC)P(B)P(C)，10分因此P(A)1P()1，一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.12分规律方法1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法变式训练3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1
16、000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)P(A)，P(B)，2分P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.5分(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，8分故1张奖券的中奖概率约为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件
17、，P(N)1P(AB)1，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.12分思想与方法1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生3求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)易错与防范1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2正确认识互斥事件与对立
18、事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义课时分层训练(六十一)随机事件的概率A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A互斥但非对立事件B对立事件C相互独立事件D以上都不对A由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件2(2017湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件
19、B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A0.7B0.65C0.35D0.3C事件A抽到一等品，且P(A)0.65，事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P1P(A)10.650.35.3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是() 【导学号：31222394】A.B. C.D1C设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥，故P(C)P(A
20、)P(B).4某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.B. C.D.C设a，b分别为甲、乙摸出球的编号由题意，摸球试验共有n6636种不同结果，满足ab的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P1.5.如图1011所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()图1011A.B. C.D.C设被污损的数字为x，则甲(8889909192)90，乙(8383879990x)，若甲乙，
21、则x8.若甲乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P.二、填空题6给出下列三个命题，其中正确命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 【导学号：31222395】0错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念7已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示
22、不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_. 【导学号：31222396】20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P.8抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(AB)_.将事件AB分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”
23、则C，D互斥，且P(C)，P(D)，P(AB)P(CD)P(C)P(D).三、解答题9(2015北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为0.2.5分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾
24、客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.12分10某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值解记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(kN，k5)，则事件Ak彼此互斥.1分(1)获奖人数不超过2人的概率为0.56，P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56，解得x0.3.5分(2)由获奖人数最多4人的概率为
25、0.96，得P(A5)10.960.04，即z0.04.8分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即y0.20.040.44，解得y0.2.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为()A.B. C.D.C掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1.表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().2某城市2017年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100
26、110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为_由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P.3(2017贵阳质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机
27、的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.2分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件AB发生，且A，B互斥，所以P(AB)P(A)P(B)0.150.120.27，故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.5分(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，10分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，因此，由频率估计概率得P(C)0.24.12分
