1、4简单计数问题知识点一简单计数问题的处理原则 填一填解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决简单计数问题的两个基本原理答一答1说一说你对先特殊后一般原则的理解提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置知识点二简单计数问题的解题策略 填一填剔除：对有限制条件的问题，先考虑总体，再把不符合条件的所有情况剔除捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列插空
2、：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间答一答2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要是用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空主要用在不相邻问题上1解决计数问题首先要认真审题，明确“完成一件事”的具体含义是什么，以及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要弄清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题(有序)，组合问题(无序)，还是排列与组合的混合问题解决计数问题的主导思想是两个计数原理在具体的计数过程中，要明
3、确排列数和组合数的意义一般地，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类计数问题的解题思路，可以概括为：审明题意，排组分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪一般地，解计数问题，通常有以下策略：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数2处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素，后排列，两个原理是解排列组合问题的最根本的出发点按元素的性
4、质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能运用分类加法计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏运用分步乘法计数原理时，要确定好次序，注意步与步之间的连续性与独立性3解排列组合应用题的策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略题型
5、一与染色有关的计数问题 例1如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？思路探究可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色解方法一：满足题设条件的染色，至少需要3种颜色若用3种颜色，则青海与云南染同色，可把两省(区)看作同一省(区)，共有A24(种)方法；若用4种颜色，则有A24(种)方法综上知，共有242448(种)染色方法方法二：逐个给各省(区)染色给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法，根据乘
6、法原理，不同的染色方法共有432248(种)规律方法 本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染色要注意依次染色，主要方法有：根据共用了多少种颜色分类讨论；根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个分步染色某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如下图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有216种(用数字作答)解析：第一步：从4种颜色的灯泡中选3种颜色的灯泡安装在A1，B1，C1三个点，有
7、A种安装方法第二步：从A，B，C中选出一个点安装第4种颜色的灯泡，有C种安装方法第三步：给剩余的两个点安装灯泡，有3种安装方法根据乘法原理，共有3AC216(种)安装方法题型二几何元素的计数问题 例2四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？解本题的实质是从这10个点中任取4个不共面的点，共有多少种不同取法，如图所示，所取出的4点共面的情况有以下三种：第一种：取出的四点在四面体的一个面内，共有4C种第二种：取出的四点是一条棱上的三点及对棱的中点，共有6种第三种：取出的四点所在平面与一组对棱平行，共3种所以，取4个不共面点的不同取法共有C(4C63)141(种)，即这10个点
8、最多可以确定141个四面体如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有24对(用数字作答)解析：方法一：第一步：从6条侧棱中任取一条，有C种方法第二步：从与该侧棱不相交的4条底边中任取一条，有C种方法根据乘法原理，异面直线有CC24(种)方法二：从12条直线中任取2条组成C对直线，求其中异面直线的对数，只需从中减去2条直线共面的情况2条直线共面的情况有三类：第一类：任取2条侧棱所在的直线，显然是共面的，有C种取法第二类：任取1条侧棱所在的直线，再取与它有交点的底边所在直线，有62种取法第三类：任取2条底边所在的直线，显然是共面的，有C种取法所以异面直线共有CC
9、62C24(对)题型三利用“隔板法”解决分配问题 例3有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？解(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插板方法对应一种分法，共有C36种分法下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转
10、化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C15种分法下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是314个，213个，213个(3)增加3个名额，分别分给3个班级，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为13个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C66种分法下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是312个，615个，413个规律方法 此类方法称为“隔板法”，是用来解决相同元素分配问题的一种方法在运用时必须满足每班至少一个名额的条件，如果这个条件不能满足应创造条件使其满足，然后用“隔板法”解决将7个相
11、同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入“隔板”的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C20种(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排序，即从10个位置中选3个位置安排“隔板”，则不同的放入方式共有C120种题型四含有双重元素的组合问题 例4某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？思路探究由题意知有1人
12、既会英语又会日语在选择2人时，可根据只会英语的人进行分类完成解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语第一类：从只会英语的6人中选1人有6种方法，则会日语的有213(种)此时共有6318(种)第二类：从不只会英语的6人中选1人有1种方法，此时选会日语的有2种故共有122(种)方法所以由分类计数原理知共有18220(种)选法规律方法 两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11
13、名工人中选派4名钳工、4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？解：方法一：设A，B代表2位老师傅A，B都不在内的选法有：CC5(种)；A，B都在内且当钳工的选法有：CCC10(种)；A，B都在内且当车工的选法有：CCC30(种)；A，B都在内，一个当钳工，一个当车工的选法有：CACC80(种)；A，B有一人在内当钳工的选派方法有：CCC20(种)；A，B有一人在内当车工的选派方法有：CCC40(种)所以共有CCCCCCCCCACCCCCCCC185(种)方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有：CCCCCCCC75(种)；5名男钳工有3名被选上的方法有：CCCCCA100(种)；5名男钳工有2名
14、被选上的方法有：CCC10(种)所以一共有7510010185(种)方法三：4名女车工都在内的选派方法有：CCCCCCCC35(种)；4名女车工有3人在内的选派方法有：CCCCCA120(种)；4名女车工有2名在内的选派方法有：CCC30(种)所以一共有3512030185(种)题型五排列中的定序问题 例5身高各不相同的五名男生与身高各不相同的五名女生站成一排，要求从左到右男生与女生分别按从高到矮的顺序排列，有多少种不同的站法？思路探究十人站成一排有十个位置，通过选位置分三步计数解依题意分三步：第一步：从十个位置选出五个位置有C种不同的方法；第二步：安排五名男生站到所选的五个位置上，由于男生的
15、排列是有序的，因此只有一种站法；第三步：安排五名女生站到剩下的五个位置上，由于女生的排列也是有序的，因此也只有一种站法根据乘法原理得，所有不同的站法共有C11252种规律方法 对于部分元素有序排列问题，只要选出有序元素所占的位置即可，此外本题不便使用插空法，因为男生(或女生)之间可以相邻也可以不相邻用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，若1,3的顺序已定，则有360个六位数符合条件；解析：若1,3的顺序不定，有A种排法，1,3的顺序已定的排法只占排法数的，故有360个六位数符合条件多维探究系列解决排列组合应用题的方法解决排列组合应用题时，一是要明确问题是排列还是组合或排列组合混合问
16、题；二是要讲究一些基本策略和方法技巧常用的有：元素位置分析法、捆绑法或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则反排除法、分组分配法等下面就常见的特殊元素、位置优先法、捆绑或插空法及正难则反排队法举例说明1特殊元素、位置的优先法例61名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共用()A450种B460种C480种D500种解析法一(元素分析法)先排老师有A种方法，再排学生有A种方法，共有AA480(种)排法法二：(位置分析法)先排两端有A种排法，再排其余位置有A种排法，共有AA480(种)排法答案C题后悟道解决排列组合问题最基本的方法是位置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满
17、足特殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素2捆绑法、插空法例7有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A12B24C36 D48解析2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有AAA24(种)答案B题后悟道插空法一般是先排没有限制条件的元素，再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间；对于捆绑法，一般是将必须相邻的元素看作一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，但不要忘记对“大元素”
18、内的元素进行排列3正难则反排除法例8从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A36种 B30种C42种 D60种解析法一：(直接法)选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，故共有CCCC215636(种)选法法二：(间接法)从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有CC562036(种)选法答案A题后悟道对于“至少”“至多”型排列组合问题，若分类求解时，情况较多，则可从所有方法中减去不满足条件的方法1把标有a，b，c，d，e，的8件不同的奖品平均赠给两位同学，其中a与b不赠给同一个人，c，d，e也不赠给同一个人，则不同的赠送方法有(C)A3
19、2种 B33种C36种 D46种解析：设两位同学，一位是甲同学，另一位是乙同学，因为仅分给甲、乙两位同学，从而可知，分给甲、乙两位同学奖品等价于分给甲同学奖品分两步完成：第一步：甲从a，b中选一件，有C种选法；第二步：甲从c，d，e中选奖品，此时分两类第一类：甲从c，d，e中选一件，再从剩下的三件中选两件，有CC种选法；第二类：甲从c，d，e中选两件，再从剩下的三件中选一件，有CC种选法由加法原理和乘法原理知，共有NC(CCCC)36种赠送方法2把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有(D)A36种 B45
20、种C54种 D84种解析：若5号球不独占一盒，先把标号为5的小球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的方法数为9，所以不同的放法有4936(种)若5号球独占一盒，同理共有48种所以一共有483684种1在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(B)A36个B24个C18个 D6个解析：各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有ACA24个2将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有(B)A30种 B
21、90种C180种 D270种解析：设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到3个班级，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师，故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有CC种方法；第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有CC种方法故共有CCCC90(种)分配方案3从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为(C)A85 B56C49 D28解析：分两类计算，NCCCC49.4从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有(B)A12
22、0种 B480种C720种 D840种解析：NCA480.5习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因为工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为360.解析：方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：(1)甲校安排1名教师，分配方案种数有C(CCACCA)150；(2)甲校安排2名教师，分配方案种数有C(CCACC)140；(3)甲校安排3名教师，分配方案种数有CCC
23、A60；(4)甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC10；由分类计数原理，可得共有1501406010360(种)分配方案方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA40(种)，则第一种情况共有204060(种)；(2)对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCAC40(种)，李老师分配到三人组有CCCA120(种)，李老师分配到两人组有CCCA80(种)，所以第二种情况共有4080120240(种)；(3)对于第三种情况，共有CCCC60(种)；综上所述，共有6024060360(种)分配方案