1、课前自学课堂互动课堂达标3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 目标定位 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数.课前自学课堂互动课堂达标1.函数的零点 对于函数yf(x)，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)_.自 主 预 习 f(x)0有零点课前自学课堂互动课堂达标3.函数零点存在的判定方法 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且有_，那么
2、，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根.温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不一定成立.连续不断f(a)f(b)0f(c)0课前自学课堂互动课堂达标即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点是一个点.()(2)若函数 yf(x)满足在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，函数 yf(x)也可能有零点.()课前自学课堂互动课堂达标提示(1)错.函数的零点是一个数，而不是一个点.(2
3、)错.有零点但不一定唯一.(3)对.如：f(x)x2，x1，1.答案(1)(2)(3)课前自学课堂互动课堂达标答案 B 2.下列函数没有零点的是()A.f(x)0 B.f(x)3C.f(x)x22 D.f(x)x1x解析 函数 f(x)3 不能满足 f(x)0，因此没有零点；函数 f(x)0 有无数个零点；函数 f(x)x22 有两个零点，为 2；函数 f(x)x1x有两个零点，为1.课前自学课堂互动课堂达标答案 D 3.若 4 是函数 f(x)ax22log2x 的零点，则 a 的值等于()A.4 B.4C.14D.14解析 由题意知 f(4)0，即 16a2log240，解得 a14.课前
4、自学课堂互动课堂达标4.函数f(x)x25x的零点是_.解析 由f(x)x25x0，解得x0或x5，所以函数f(x)的零点为0或5.答案 0或5 课前自学课堂互动课堂达标类型一 求函数的零点【例1】指出下列函数的零点：(1)f(x)x23x2的零点是_；(2)f(x)x41的零点是_；(3)若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则a_，b_.课前自学课堂互动课堂达标解析(1)令 f(x)0，即(x1)(x2)0，所以零点为 1 和 2.(2)由 x410，得(x21)(x1)(x1)0，所以 x1，所以函数 f(x)x41 的零点是 1 和1.(3)由于函数 f(x)x2axb 的两个零
5、点是 2 和 3，所以是 2和 3 是方程 x2axb0 的两个根，所以 23(a)，23b，所以 a5，b6.答案(1)1和2(2)1和1(3)5；6 课前自学课堂互动课堂达标规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.课前自学课堂互动课堂达标【训练1】(1)函数f(x)2x1的零点是_；(2)若f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_.解析(1)由 2x10，得 x0，故函数的零点为 0.(2)因为 f(x)axb 的零点是
6、3，所以 f(3)0，即 3ab0，也就是 b3a.所以 g(x)bx23axbx2bxbx(x1).所以方程 g(x)0 的两个根为1 和 0，即函数 g(x)的零点为1 和 0.答案(1)0(2)1和0 课前自学课堂互动课堂达标类型二 判断函数零点所在区间【例 2】在下列区间中，函数 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A.14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析 f14 4 e20，f12 e10，f14 f12 0，零点在14，12 上.答案 C 课前自学课堂互动课堂达标规律方法(1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.(2)要正确理解
7、和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.课前自学课堂互动课堂达标【训练2】方程lg xx0的根所在的区间可能是()A.(，0)B.(0.1，1)C.(1，2)D.(2，4)解析 由于lg x有意义，所以x0，令f(x)lg xx，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)0.90，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点.答案 B 课前自学课堂互动课堂达标类型三 函数零点个数的判断(互动探究)【例3】(1)判断函数f(x)x2xb2
8、的零点的个数.(2)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.思路探究探究点一 如何求二次函数的零点个数？提示 二次函数的零点个数的判断可借助判别式.探究点二 如何求不可解函数的零点个数？提示 对于不可解函数可转为图象交点的个数.课前自学课堂互动课堂达标解(1)对于方程x2xb20，因为124b20，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点.(2)法一 函数对应的方程为 ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x2 的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数 y3x2 与 yln x 的图象只有一个交点.从而 ln xx230
9、有一个根，即函数 yln xx23 有一个零点.课前自学课堂互动课堂达标法二 由于 f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又 f(x)ln xx23 的图象在(1，2)上是不间断的，所以 f(x)在(1，2)上必有零点，又 f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个.课前自学课堂互动课堂达标规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数 yf(x)的图象，判断它与 x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)结合单调性，利用 f(a)f(b)0，可判定 yf(x)在(a，
10、b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.例如，函数 F(x)f(x)g(x)的零点个数就是方程 f(x)g(x)的实数根的个数，也就是函数yf(x)的图象与 yg(x)的图象交点的个数.课前自学课堂互动课堂达标【迁移探究1】若例题第(1)题中，变为若函数f(x)ax2x1有两个零点，求实数a的取值范围.解 f(x)ax2x1 有两个零点，则满足a0，14a0，得 a14且 a0，故实数 a 的取值范围是14，.课前自学课堂互动课堂达标【迁移探究2】若函数f(x)ax2x1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围.解 当 a0 时，由 f(x)x10，得 x1.当 a0 时，此函数图
11、象开口向上，又 f(0)10，结合二次函数图象知成立.当 a0 时，此函数图象开口向下，又 f(0)10，从而有14a0，12a 0，解得 a14.综上可知，a 的取值范围是14 0，).课前自学课堂互动课堂达标课堂小结 1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课前自学课堂互动课堂达标1.
12、对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A.方程f(x)0一定有实数解B.方程f(x)0一定无实数解 C.方程f(x)0一定有两实根D.方程f(x)0可能无实数解 解析 函数f(x)的图象在(1，3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1，3)上有实数解.答案 D 课前自学课堂互动课堂达标2.函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A.(2，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0，1)内有零点.答案 C 课前自学课堂互动课堂达标答案 1 3.若函数 f(x)23x1a 的零点为 1，那么函数 g(x)2ax22x1 的零点是_.解析 由已知得 f(1)0，即2311a0，解得 a12.g(x)x22x1，令 g(x)0 得方程 x22x10的根为 x1，故 g(x)的零点为 1.课前自学课堂互动课堂达标4.求函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数.解 令 f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点.