1、11.2排列与组合1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An！. (2)CC；CCC.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个
2、排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)AnA.()(6)kCnC.()1用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8 B24 C48 D120答案C解析末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA48(种)2(2014辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120 C72 D24答案D解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.3将字母a，a，b，b，c，c排成三行两
3、列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的排列方法4某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种答案14解析有1名女生：CC8.有2名女生：CC6.不同的选派方案有8614(种).题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也
4、不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间思维点拨(1)先考虑甲的排法或先考虑中间位置排法(2)先排特殊元素(3)插空法解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A种，故共有6A241 920(种)排法方法二(位置分析法)中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA336720241 920(种)排法方法三(等机会法)9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A241 920(种)方法四(间接法)A3A6A241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有AA10 080(种)排法(3)(插空法)先
5、排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA2 880(种)排法思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？解(1)不考虑0在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AAAA252个含有2,3，但它们不相邻的五位数；(
6、2)在六个位置先排0,4,5，不考虑0在首位，则有A个，去掉0在首位，即有AA个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有AA100个六位数题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维点拨可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法解(1)
7、从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100(种)恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种思维升华组合问题常有以下
8、两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理从10位学生中选出5人参加数学竞赛(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？解(1)学生甲入选，再从剩下的9人选4人，故甲必须入选的有C126(种)不同选法(2)没有限制条件的选择方法有C252种
9、，甲、乙、丙同时都入选有C21种，故甲、乙、丙不能同时都入选的有25221231(种)不同的选法题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维点拨把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理
10、，共有CCCA144(种)放法(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法故共有C(CCAA)84(种)放法思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准(1)将标号为1,2,3,4
11、,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种(2)(2014重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168答案(1)B(2)B解析(1)先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有A种，故共有CC18种(2)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对
12、于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法排列、组合问题计算重、漏致误典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有CC2 736种不同取法上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复解析方法一将“至少有1个是一等品的不
13、同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有CCCCC1 136(种)方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CC1 136(种)答案1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题(2)“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解
14、方法与技巧1对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数2排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件失误与防范求解排列与组合问题的三个注
15、意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2014四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种 B216种C240种 D288种答案B解析第一类：甲在最左端，有A54321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4
16、A4432196(种)方法所以共有12096216(种)方法2将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种答案A解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6(种)选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2612(种)310名同学合影，站成了前排3人，后排7人现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()ACA BCA CCA DCA答案C解析从后排抽
17、2人的方法种数是C；前排的排列方法种数是A.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.4某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种 C48种 D54种答案B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法依分类加法计数原理，知共有ACA42(种)编排方案5如图所示，要使电路接通，开关不同的开闭方式有()A1
18、1种 B20种 C21种 D12种答案C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有C(CCC)14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C(CCC)7(种)方式所以共有14721(种)方式6A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有_种答案60解析可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A60(种)7(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案96解析将5张参观券分成4堆，
19、有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，不同的分法种数共有4A96.8用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_答案8解析先把两奇数捆绑在一起有A种方法，再用插空法共有ACA8个9某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种答案24解析甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2AA24(种)10有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中
20、选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为CC6种；第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为CC12种；第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为CC8种；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A12种；由分类加法计数原理，选派方法数共有61281238种B组专项能力提升(时
21、间：15分钟)11我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12种 B18种 C24种 D48种答案C解析丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共224种有三个“空”供丙、丁选择，即A6种由分步乘法计数原理，共有4624种着舰方法12(2014广东)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90
22、 C120 D130答案D解析在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有C2种；两个1(或1)，三个0，有C2种；一个1，一个1，三个0，有A种；两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有CC2种；三个1(或1)，两个0，有C2种故共有C2C2ACC2C2130(种)，故选D.13(2013浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)答案480解析分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、
23、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况所以共有2(AACAACAA)480(种)14(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有A种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.157名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端解(1)两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有AA1 440(种)站法(2)4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA144(种)站法(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A720种结果，当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A553 000(种)站法根据分类加法计数原理知共有7203 0003 720(种)站法
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