1、12.3几何概型1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统
2、计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()1在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D1答案
3、B解析坐标小于1的区间为0,1，长度为1，0,3区间长度为3，故所求概率为.2(2014辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B.C. D.答案B解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).3(2014福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案0.18解析由题意知，这是个几何概型问题，0.18，S正1，S阴0.18.4(2013山东)在区间3,3上随机取一个数x使得|x1|x2|1成立的概率为_答案解析由绝对值的几何意义知：使|x1
4、|x2|1成立的x值为x1,3，由几何概型知所求概率为P.题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)在区间1,1上随机取一个数x，求cos x的值介于0到之间的概率(2)如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率解(1)如图，由函数ycos x的图象知，当1x或x1时，0cos x.由概率的几何概型知：cos x的值介于0到之间的概率为.(2)因为B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得
5、P(N).思维升华几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率(1)(2014湖南)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_答案(1)B(2)解析(1)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1，即2X1的概率为P.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为C
6、D时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A).题型二与面积、体积有关的几何概型例2(1)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_思维点拨求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比答案(1)D(2)解析(1)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标
7、原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，所以选D.(2)先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.思维升华数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A).(1)在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1 B1C1
8、 D1(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_答案(1)B(2)1解析(1)由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，故P(A)1，所以选B.(2)V正238，V半球13，故点P到O的距离大于1的概率为1.题型三生活中
9、的几何概型问题例3甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率思维点拨当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决解这是一个几何概型问题设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|
10、yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).思维升华生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的数学模型(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论(2014重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)答案解析在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的时间对应的点(x，y)
11、所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到5分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足xy5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1515，故所求概率P.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：(12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算
12、概率规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个因为是长度，所以应有0x1,0y1,0xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示4分要形成三角形，由构成三角形的条件知所以x，y，故图中阴影部分符合构成三角形的条件8分因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形的概率为.12分温馨提醒解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误方法与技巧1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个2转化思
13、想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型失误与防范1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A组专项基础训练
14、(时间：40分钟)1(2014陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.答案C解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.故选C.2设p在0,5上随机地取值，则方程x2px0有实根的概率为()A. B. C. D.答案C解析一元二次方程有实数根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率为P.3如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.答案C解析S阴影(x)dx，又S正方形OABC1，由几何概型知，P恰好取自
15、阴影部分的概率为.4已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A. B.C. D.答案C解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.5如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1 B.C. D.答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令O
16、AOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.6已知集合A|，nZ，若从A中任取一个元素均可作为直线l的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是_答案解析由于倾斜角范围为0，)，故当0n8时，集合A中共有9个解，分别为0，.其中当为，时，此时为钝角，直线l的斜率小于零故直线l的斜率小于零的概率P.7(2013湖北)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2mn.如图，由题意知
17、，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.9小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_答案解析去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上
18、取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.B组专项能力提升(时间：15分钟)11(2014湖北)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域为2，在1中随机取
19、一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.答案D解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.12一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是()A. B. C. D.答案C解析屋子的体积为54360米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为133.故苍蝇被捕捉的概率是.13(2014辽宁)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,
20、1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析正方形内空白部分面积为x2(x2)dx2x2dxx3|()，阴影部分面积为22，所以所求概率为.14(2014福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.15平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_答案解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.