1、第六单元 平面向量与复数知识体系第四节 数系的扩充与复数的引入 基础梳理1.复数的概念及分类 (1)概念:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,其中a,b分别为它的 和 。实数:若a+bi为实数,则 。(2)分类 虚数:若a+bi为虚数,则 。纯虚数:若a+bi为纯虚数,则 .(3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,dR).实部虚部b=0 b0 a=0,b=0 2.复数的加、减、乘、除运算法则 设 则 (1)加法:=(a+bi)+(c+di)=;12zabi,zcdi a,b,c,dR,12z+z(a+c)+(b+d)i(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
2、;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;(4)乘方:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=zn1zn2;(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(5)除法 =.12 zabi(abi)(c-di)zcdi(cdi)(c-di)(cdi0)22(acbd)(bc-ad)icd3.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.叫做实轴,叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 .复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的x轴 y轴 实数纯虚数有序实数对(a,b)
3、原点4.共轭复数 把 相等,的两个复数叫做互为共 轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的共轭复数记作 .实部虚部互为相反数zz,即(,)a bRabi4.共轭复数 把实部 相等,虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的共轭复数记作 ,即 =a-bi (a,bR).5.复数的模 向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,bR)的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|,即 6.复平面内两点间距离公式 两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=|Z2Z1|.ba|b
4、ia|z|22 典例分析题型一 复数的概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i.(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;3,m0,03)-2)(m(m0,3)-m(m(5)解得由当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.学后反思 利用复数的有关概念求解,
5、使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.举一反三 1.已知复数 ，试添加a,b的条件，使之满足下列要求。(1)使复数z为纯叙述的充要条件；(2)使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件。解析：（1）由已知得，所以 z为纯虚数的充要条件是a=b,且ao.22()(,)zabaa i a bR22000ababaaa 所以(2)由（1）得，条件a=bo和a=-b0都可以作为z为纯虚数的充分 不必要条件。题型二 复数代数形式的运算 【例2】计算：6123().132iiii分析:熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算 和 等运算结果，能使运算更加便捷。21(1)2,
6、1iiiii 解 原式=621(23)()2(32)ii ii i 6(23)123i iiii 学后反思 在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的特点，寻找更简便的方法。举一反三2.求7+24i的平方根.解析：设平方根为x+yi(x,yR),则 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.222xyi724i,xy2xyi724i即-3.y-4,x,3y4,x242xy7,y-x22或解得题型三 复数集上的代数方程【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,cR）.(1)求b,c的值;(2)试证明1-i也是方程的根.分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.
7、解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,2 所以b,c的值分别为b=-2,c=2.6 bc0,b-2 2b0c2 解得(2)证明：因为方程x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得 x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0 即方程成立,1-i也是方程的根.学后反思 (1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.2aib-4acb-,x221举一反三3.已知关于x的
8、方程x2-(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.解析 设实根为x0,则x20-(2+i)x0-a+3i=0，整理得x20-2x0-a+(3-x0)i=0,解得 ，故a=3，方程的实根为3.2000 x -2x-a03-x00 x33a，易错警示【例】m取何实数值时，复数 (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？10)i-3m(m25-m2-3m-2mz222错解 (1)当 时，即m=2或m=-5时，z是实数.(2)当 时，即m-5且m2时，z是虚数.(3)当 即 时，z是纯虚数.2m3m 1002m3m 1002212m-3m-20,m2 m-2m3m-
9、100,m-5m2,或即且1m 2错解分析 本题出错的原因是漏掉了m2-25在分母上这一条件.m5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.正解 (1)当 即m=2,当m=2时，z是实数.22m3m-100,m-5m2,m5,m-250 或时，解得(2)当 当m5且m2时,z是虚数.22m3m-100,m-5m2,m5,m-250 且时，解得(3)当 即 时，z是纯虚数.222122m-3m-20,2m3100m5m2,5,m-250,mmmm 或时，解得且11,22mm 考点演练10.若z(1+i)=2,则z的虚部是 。解析:由 22(1)2(1)(1)211(1)(1)2iiziziiii 得答案：-1 11.已知复数 在复平面内对应的点在第三象 限，求实数x的取值范围.265(2)xxxi 解析：x为实数，都是实数。由题意，得 2652xxx和215650220 xxxxx解得即1x2.故x的取值范围是1x2.12.(2010.江苏启东模拟）已知复数 则 的最大值,23,zxyiz且yx解析：由即得直线方程为kx-y=0 圆 的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离 的最大值为 222232(2)3,zzxyykx可得，设22(2)3xy223,3,3,1kydkxk 解得即得3答案：3