1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)【解析】选D.因为f(x)=(x-3)ex,则f(x)=ex(x-2),令f(x)0,得x2,所以f(x)的单调递增区间为(2,+).2.(2016聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a1B.a=1C.a1D.0
2、a1【解析】选A.因为f(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-10在(0,1)内恒成立,所以f(0)0,且f(1)0,所以a1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f(x)0,则在区间上必有()A.f(1)f(x)f(2)B.f(x)f(1)C.f(x)f(2)D.f(x)f(1)或f(x)f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f(x)0知,当x2-3x+20,即1x0,所以f(x)是区间上的单调递增函数,所以f(1)f(x)f(2).4.(2016青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是
3、()A.f(x)=-x3B.f(x)=+x3C.f(x)=-x3D.f(x)=-x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f(x)=+3x2,当x时,f(x)不可能恒小于0,即函数不可能恒为减函数,故不符合.5.已知f(x)的定义域为(0,+),f(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)(x-1)f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,2)D.(2,+)【解析】选D.因为f(x)+xf(x)0,所以(xf(x)(x2-1)f(x2-1),所以0x+12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=的单调递增区间是.【解析】由导函数f(x)
4、=0,得cosx-,所以2k-x0,所以a0.答案:(0,+)8.(2016大连模拟)已知函数f(x)=aln(x+1)-x2在区间(1,2)内任取两个实数p,q,且pq,不等式q,则p-q0,1,f(p+1)-f(q+1)p-q,-0,令g(x)=f(x)-x,则由题意可知函数g(x)在(2,3)内单调递减,g(x)=aln(x+1)-x2-x,g(x)=-2x-10在(2,3)内恒成立,2x+1,a(x+1)(2x+1),结合二次函数的性质,可知a15.答案:(-,15【加固训练】已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在上不单调,则t的取值范围是.【解析】由题意知f(x)=-x+4-=-
5、,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0),f(x)=-x+=-,当0x0,f(x)在(0,2)上单调递增;当x2时,f(x),所以h(x)max=e2-2.10.设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性.【解题提示】(1)当a=0时,求出函数f(x)的导函数f(x),进而求出切线的斜率,即可求出切线方程.(2)结合函数的导函数,对a进行分情况讨论,判断导函数的符号,
6、进而确定其单调性.【解析】(1)由题意知a=0时,f(x)=,x(0,+),此时f(x)=,可得f(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=+=.当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增,当a0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).当a=-时,=0,f(x)=0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a-时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当-a0,设x1,x2(x10,所以当x(0,x1)时,g(
7、x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-a2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)【解题提示】构造函数F(x)=f(x)-(2x+4),利用导数求解.【解析】选B.设F(x)=f(x)-(2x+4),则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,对任意xR,f(x)2,所以F(x) =f(x)-20,即F(x)在R上单调递增,则F(x)0的解集为(-
8、1,+),即f(x)2x+4的解集为(-1,+).2.(5分)f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a,b,若ab,则必有()A.af(b)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)【解析】选A.因为xf(x)-f(x),f(x)0,所以=0.则函数在(0,+)上是单调递减的,由于0ab,则,即af(b)bf(a).【加固训练】若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f,f(2)的大小关系为.【解析】函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当
9、x时,f(x)f(2)f(3)=f(-3).答案:f(-3)f(2)0在(-1,1)上能成立,故ex+xt在(-1,1)上能成立,故e+1t.答案:(-,e+1)4.(12分)已知函数f(x)=,aR.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若f(x)在(1,2)上是单调函数,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为x|xa,f(x)=.当a=0时,f(x)=x(x0),f(x)=1,则x(-,0)和(0,+)时,f(x)为增函数.当a0时,由f(x)0得,x2a或x0,由于此时0a2a时,f(x)为增函数,x0时,f(x)为增函数;由f(x)0得,0x2a,考虑定义域,当0xa时,f(
10、x)为减函数,ax2a时,f(x)为减函数.当a0得,x0或x2a,由于此时2aa0,所以当x0时,f(x)为增函数,由f(x)0得,2ax0,考虑定义域,当2axa时,f(x)为减函数,ax0时,函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(2a,+),单调递减区间为(0,a),(a,2a).当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(-,2a),(0,+),单调递减区间为(2a, a),(a,0).(2)当a0时,由(1)可得,f(x)在(1,2)上单调递增,且x(1,2)时,xa.当02a1时,即0a时,由(1)可得,f(x)在(2a,+)上单调递增,即在(1,2)上单调递增,且x(1,2)时,
11、xa.当12a2时,即a1时,由(1)可得,f(x)在(1,2)上不具有单调性,不合题意.当2a2,即a1时,由(1)可得,f(x)在(0,a),(a,2a)上为减函数,同时需注意a(1,2),满足这样的条件时f(x)在(1,2)上单调递减,所以此时a=1或a2.综上所述,a的取值范围是1,使2(x1)(x2)成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为函数的定义域为R,f(x)=.当a=0时,f(x)0,f(x)的单调递减区间是(-,+);当a0时,由f(x)=0,得x=.所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是;当0a1时,由f(x)=0,得x=;所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)假设存在x1,x2,使得2(x1)(x2)成立,则2minmax.因为(x)=xf(x)+tf(x)+e-x=,所以(x)=-.当t1时,(x)0,(x)在上单调递减,所以2(1)3-1.当t0时,(x)0,(x)在上单调递增,所以2(0)(1),即t3-2e0,当0t1时,若x,(x)0,(x)在(t,1上单调递增,所以2(t)max(0),(1),即2max,(*),又g(t)=2在上单调递减,故22,而,所以不等式(*)无解.综上所述,存在t(-,3-2e),使得命题成立.关闭Word文档返回原板块