1、2.3数学归纳法(二)学习目标1进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题2掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等知识链接1数学归纳法的两个步骤有何关系？答案使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据2用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？答案与正整数n有关的命题预习导引1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一
2、些与正整数有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从nk到nk1必须用上归纳假设要点一用数学归纳法证明不等式问题例1用数学归纳法证明：1(n2，nN*)证明(1)当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，111成立证明(1)当n2时，左1，右，左右，不等式成立(2)假设nk(k2且kN*)时，不等式成立，即，那么当nk1时，nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立要点二用数学归纳法证明整除性问题例2用数学归纳法证明：f
3、(n)(2n7)3n9能被36整除证明当n1时，f(1)(217)3936，能被36整除假设nk(kN*)时，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶数，所以18(3k11)能被36整除，所以f(k1)能被36整除由可知，对任意的nN*，f(n)能被36整除规律方法应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将nk时的项从nk1时的项中“硬提出来”，构成nk的项，后面的式子
4、相对变形，使之与nk1时的项相同，从而达到利用假设的目的跟踪演练2用数学归纳法证明62n11(nN*)能被7整除证明(1)当n1时，62117能被7整除(2)假设当nk(kN*，且k1)时，62k11能被7整除那么当nk1时，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，当nk1时，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命题成立要点三用数学归纳法证明几何问题例3用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n3)条证明当n3时，n(n3)0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确假设当nk(k3，kN*)时结论正确，即凸k边形的对角线有k(k3)条，当
5、nk1时，凸(k1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak1，增加的对角线是顶点Ak1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k21k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故当nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意n3，nN*，命题成立规律方法用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由nk到nk1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k1)f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明跟踪演练3平面内有n
6、(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n).证明(1)当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)2(21)1，当n2时，命题成立(2)假设当nk(kN*，k2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)，(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立要点四归纳猜想证明例4
7、在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.(1)解由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可以得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(kN*)时，结论成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)1，bk1(k2)2(k1)12，所以当n
8、k1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)证明.n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.综上，原不等式成立规律方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用跟踪演练4已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1；S2；S3；S4.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可
9、用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn(nN*)下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即，那么，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立1某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立Dn4时该命题成立答案C解析nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题成立若n5时，该命题不成立，则n4时该命题不成立2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xny
10、n能被xy整除”时，第一步验证n1时，命题成立，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)时命题正确，再推证n2k3时命题正确B假设n2k1(kN*)时命题正确，再推证n2k1时命题正确C假设nk(kN*)时命题正确，再推证nk2时命题正确D假设nk(kN*)时命题正确，再推证nk2时命题正确答案B解析因n为正奇数，所以否定C、D项；当k1时，2k11,2k13，故选B.3用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_答案n3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立4用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式
11、是_答案(2k2)(2k3)解析当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设一、基础达标1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234答案D解析等式左边的数
12、是从1加到n3.当n1时，n34，故此时左边的数为从1加到4.2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6答案C解析当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选C.3用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.4用数学归纳法证明不等式(nN*)的过程中，由nk递推到nk1时，下列说法正确的是()A增加了一项B增加了两项和C增加了B中的两项，但又减少了一项D增加了A中的一项，但
13、又减少了一项答案C解析当nk时，不等式左边为，当nk1时，不等式左边为，故选C.5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开_答案(k3)3解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2
14、Snan，用数学归纳法证明：an.证明(1)当n1时a1S1，a1(an0)，a11，又1，n1时，结论成立(2)假设nk(kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk.a2ak110，解得ak1(an0)，nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案A解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面020(31)；五棱柱有5个对角面232(41)；六棱柱有9个对角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面
15、，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面9对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时，11，不等式成立假设nk(nN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，.假设nk时，不等式成立则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析观察不等式中的分母变化知，.11求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即.则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12已知数列an中，a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明
16、解当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1a1，猜想成立(2)假设nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与创新13已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式对任意nN*，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以，an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明当n1时，成立假设当nk时，不等式成立，当nk1时，只要证，只要证，只要证2k2，只要证4k28k34k28k4，只要证34，显然成立即nk1时，不等式成立由可知，对任意nN*，不等式恒成立