1、2.3数学归纳法(一)学习目标1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识链接1对于数列an，已知a11，an1(nN*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答a11，a2，a3，a4.猜想数列的通项公式为an.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明2多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K1块也倒下3类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答(1)当n1时，猜想成立；(2)若
2、当nk时猜想成立，证明当nk1时猜想也成立预习导引1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立2应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可(3)步骤的证明必须以“假设当nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件要点一正确判断命题从nk到nk1项的变化例1已知f(n)1(nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_答案2k解析观察f(n)的表达
3、式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项规律方法在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k1)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚跟踪演练1设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于_答案解析f(n)1，f(n1)1，f(n1)f(n).要点二证明与自然数n有关的等式例2已知nN*，证明：1.证明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立；(2)假设当nk(k1，且kN*)时等式成立，即：1.则当nk1时，左边1右边；所以当nk1时等式也成立由(1)(2)知对一切nN*等式都成立规律方
4、法(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把nk时的命题当作条件，在证nk1命题成立时须用上假设要注意当nk1时，等式两边的式子与nk时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决跟踪演练2用数学归纳法证明：当n2，nN*时，.证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，.当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立要点三证明与数列有关的问题例3某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)
5、写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明解(1)已知a11，由题意得a1a222，a222，a1a2a332，a3.同理可得a4，a5.因此这个数列的前五项为1,4，.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，所以等式成立假设当nk(k2，kN)时，结论成立，即ak，则当nk1时，a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1(k1)2.ak1，所以当nk1时，结论也成立根据可知，当n2时，这个数列的通项公式是an，an规律方法(1)数列an既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式
6、和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法跟踪演练3数列an满足：a1，前n项和Snan，(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明解(1)令n2，得S2a2，即a1a23a2，解得a2.令n3，得S3a3，即a1a2a36a3，解得a3.令n4，得S4a4，即a1a2a3a410a4，解得a4.(2)由(1)的结
7、果猜想an，下面用数学归纳法给予证明：当n1时，a1，结论成立假设当nk(kN*)时，结论成立，即ak，则当nk1时，Skak，Sk1ak1，与相减得ak1ak1ak，整理得ak1ak，即当nk1时结论也成立由、知对于nN*，上述结论都成立1若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确答案C解析由已知得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时
8、命题成立；在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案C解析将n1代入a2n1得a3，故选C.3用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明的错误是_答案未用归纳假设解析本题在由nk成立，证n
9、k1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符4当nN*时，Sn1，Tn，(1)求S1，S2，T1，T2；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明解(1)当nN*时，Sn1，Tn.S11，S21，T1，T2.(2)猜想SnTn(nN*)，即1(nN*)下面用数学归纳法证明：当n1时，已证S1T1，假设nk时，SkTk(k1，kN*)，即1，则Sk1SkTkTk1.由，可知，对任意nN*，SnTn都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子
10、项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立 B当n6时命题成立C当n4时命题不成立 D当n4时命题成立答案B2一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答
11、案都不对答案B解析由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立且n2，故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4若f(n)1(nN*)，则n1时f(n)是()A1 BC1 D以上答案均不正确答案C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到_答案12222k12k2k12k解析由nk到nk1等式的左边增加了一项6已知f(n)(nN*)，则f(k1)_.答案f(k)7用数学归纳法证明(nN*)证
12、明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即，当nk1时，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN*等式都成立二、能力提升8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C D答案B解析nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘2(2k1)9已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(
13、2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，项数为n2n1.10以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立答案缺少步骤(1)，没有递推的基础11用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边1，右边(1)111，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么当nk1时，12
14、223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k(1)k11.即nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立12已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN*)时成立，即ak52k2，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k152(k1)2.故nk1时公式也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为an.三、探究与创新13已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论解(1)计算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，猜想显然成立假设nk(kN*)时，猜想成立，即ak.那么，当nk1时，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，从而ak1.即nk1时，猜想也成立故由和可知，猜想成立