1、6.2等差数列及其前n项和1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等
2、差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2
3、.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()1(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14答案C解析由题意知a12，由S33a1d12，解得d2，所以a6a15d25212，故选C.2设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，
4、所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4(2013课标全国)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_答案49解析由题意知a1a100，a1a15.两式相减得a15a105d，d，a13.nSnnf(n)，令f(x)，x0，f(x)x(3x20)令f(x)0得x0(舍)或x.当x时，f(x)是单调递增的；当0x0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80 Ba2a1000，a4a70，a10a110，a10a
5、110可知d0，a110，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6.8已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.答案解析由已知(101)134，a10.9在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k
6、7.10设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nN*，当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*B组专项能力提升(时间：30分钟)11已知数列an为等差数列，若0的
7、n的最大值为()A11 B19 C20 D21答案B解析0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19.12(2013辽宁)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中，真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案D解析由于p1：ana1(n1)d，d0，anan1d0，命题p1正确对于p2：nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增，命题p2不正确对于p3：
8、d，当da10，即da1时，数列递增，但da1不一定成立，则p3不正确对于p4：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，p4正确综上，正确的命题为p1，p4.13设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.14已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为等差数列(2)由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.15已知数列an中，a1，an1.(1)求an；(2)设数列bn的前n项和为Sn，且bn1，求证：Sn1.(1)解由已知得an0，则由an1，得，即，而2，是以2为首项，以为公差的等差数列2(n1)，an.(2)证明bn1，则由(1)得bn，Snb1b2bn(1)()()()1关于n单调递增，Sn1.