1、第一节 导数的概念及运算 基础梳理1212x-x)f(x-)f(x数量化视觉化1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .0 x(a,b),0f(x)f(x-)f(xx0 x0 xy(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在
2、曲线y=f(x)上点 .处的.相应地，切线方程为.3.函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .00(,)xf x切线的斜率000y-f(x)=f()()xxx变化变化f(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f(x)=.f(x)=C f(x)=.f(x)=x f(x)=.f(x)=x2 f(x)=.f(x)=x3 f(x)=.f(x)=.f(x)=xa(a为常数)f(x)=ax(a0且a1)4.基本初等函数的导数公式1f(x)xxf(x)=.f(
3、x)=.k 0 1 2x 23xf(x)21-xf(x)12 xa-1axxa ln af(x)=logax(a0且a1).f(x)=f(x)=.f(x)=ln x.f(x)=sin x f(x)=.f(x)=cos x f(x)=.xef(x)1xln axef(x)1xcos x sinx 5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;f(x)g(x)Cf(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)0g(x)g(x)(x)gf(x)-(x)g(x)fg(x)f(x)(4)2典例分析题型一利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=
4、1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).2xxx2xx1-x)(1xf(1)-x)f(1xy222xy举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.xy 题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.1-e1e(2)ysin x;x(1)yxx2xxx1xxxxxxx-xxxy,x-xxyx=100111ylimlim,|2xxx2xxyyxx 解析 分析 直接利
5、用导数公式及四则运算法则进行计算.1)-(e2e-1)-(e1)(ee-1)-(ee1)-(e1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey1-e1ey2xx2xxxxx2xxxxxxx学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解 (1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)2x2x举一反三2.求函数 的导数.题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.1111yxx2211112,111112 122111xxyxxxxxxyxxx
6、解析分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.ts解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=t3-6ts(1)-t)s(1ts6-tslim0t方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间
7、的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题 举一反三 3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.201s(t)=v t-gt200v(v 0)0t解析：物体在 时刻的瞬时速度为 .001s()22tvgtvgt0t000s()tvgt题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.34 x31y3 分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2).(2)过点P的切线，点P
8、不一定是切点，需要设出切点坐标.解 （1)y=x2,2 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6 34 x31y3)34 x31,A(x300切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14 学
9、后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.3200014y-(x )x(x-x),33230024yxx-x .8 3323002442xx-x .10 33举一反三 4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得 ,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为 ,曲线y=ln(2x
10、-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .00(,)P xy00 x=xx=x012y|=2x-1|=22x-12x-10 x100所以y222-0+352(1)5题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数.22(1)(1 sin);(2)ln1yxyx分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.2(1)1 sin2(1 sin)(1 sin)2(1 sin)cos2cossin 2yxxxxxxx解2221222221(2)(ln1)111111211yxxxxxxxx学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中
11、 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）举一反三5.求下列函数的导数。1 cos21(1);(2)1xyyxex解析：1322222322221(1)1112111yxxxxxxxx 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos(2)1 cossin1sinxxxxxxxxyxeex eex exexexxx e易错警示【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切
12、线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.323x1xxxy3 xy 3 xy 正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.考点演练10.已知函数 的图象都过点 P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.32f x2xaxg xbxc与解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b
13、+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率 .又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.3f 22 2a20 2kf26 2816 11.设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x)解析:将 中的x换成 ，可得 将其代入已知条件中得 ,1af xbfcxx 1af xbfcxx1x 11af xbf,()()cbcxfxf xxxaa2bcbcaf(x)+x-f(x)=aax22222cacf(x)=(-bx),f(x)=()axaabbbx12.(2008宁夏)设函数 (a,bZ),曲线y=f(x)在 点(2,f
14、(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对 称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所 围三角形面积为定值，并求出此定值.1()f xaxxb解析:(1)f(x)=.于是 ,解得 21a-xb21232102abab 914813aabb 或1,()1a bZf xxx(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的 中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.121,yx yx1()g xxx11()1111f xxxxx（3）证明：在曲线上任取一点 ,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得 ,切线与直线x=1的交点为 .令y=x,得 ,切线与直线y=x的交点为 .直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为 所以所围三角形的面积为定值2.0001x,1xx02011(1)fxx 20002001111(1)xxyxxxx0011xyx001(1,)1xx021xx00(21,21)xx0000011121 21 12222121xxxxx