1、2.2 函数教学目标1理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域（1）了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射能理解函数是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法了解每种方法的优点（3）能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域2通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高（1）对函数记号 有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与 的区别与联系；（2）在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性3通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习
2、教学建议1教材分析（1）知识结构（2）重点难点分析本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念，主要包括对函数的定义，表示法，三要素的作用的理解与认识教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助在本节中首次引入了抽象的函数符号 ，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受 ，所以应让学生从符号
3、的含义认识开始，在符号中， 在法则 下对应 ，不是 与 的乘积，符号本身就是三要素的体现由于 所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故函数表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法此外 本身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量如 ，它应表示以 为自变量的二次函数，而如果写成 ，则我们就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当 为变量时，它就不代表二次函数2教法建议（1）高中对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸深化首先体现在函数的定义更具一般性故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，教师再给出如： 是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如
4、果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要（2）对函数是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号 的了解与使用来强化，另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合在这类题目中，可以进一步体现出三要素整体的作用（3）关于对分段函数的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子来说明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个函数关系，所以是一个函数而不是几个函数，其次还可以举一些数学的例子如 这样的函数，若利用绝对值的定义它就可以写成 ，这就是一个分段函数，从这个题中也可以看出分段函数是一个函数教学设计方案2.2 函数教学目标：1理解函数的概念，了解函数三要素
5、2通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高3通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念；难点是对函数抽象符号的认识与使用教学用具：投影仪教学方法：自学研究与启发讨论式教学过程：一、复习与引入今天我们研究的内容是函数的概念函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么?学过什么函数?(要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子)学生举出如 等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子
6、，问学生提问1 是函数吗?(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做 )教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化二、新课现在请同学们打开书翻到第50 页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题(约2-3分钟或开始提问)提问2新的函数的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质(板书)22函数一、函数的概念1定义：如果A，B都是
7、非空的数集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函数，记作 其中原象集合A称为定义域，象集C 称为值域问题3：映射与函数有何关系?(函数一定是映射吗?映射一定是函数吗?)引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集2本质：函数是非空数集到非空数集的映射(板书)然后让学生试回答刚才关于 是不是函数的问题，要求从映射的角度解释此时学生可以清楚的看到 满足映射观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释 是个函数?从映射角度看可以是 其中定义域是 ，值域是 从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质这也
8、是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要所以我们着重从映射角度再来认识函数3函数的三要素及其作用(板书)函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域值域和对应法则当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它例1 以下关系式表示函数吗?为什么?(1) ； (2) 解：(1)由 有意义得 ，解得 由于定义域是空集，故它不能表示函数(2) 由 有意义得 ，解得 定义域为 ，值域为 由以上两题可以看出三要素的作用(1)判断一个函数关系是否存在(板书)例2 下列各函数中，哪一个函数与 是同一个函数(1) ； (2) (3) ； (4) 解：先认清 ，它是 (定义域)到 (值域)的映射，其中
9、 再看(1)定义域为 且 ，是不同的； (2)定义域为 ，是不同的；(4) ，法则是不同的；而(3)定义域是 ，值域是 ，法则是乘2减1，与 完全相同求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用(2)判断两个函数是否相同（板书）下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号 说起4对函数符号 的理解(板书)首先让学生知道 与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则 ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体下面我们举例说
10、明例3 已知函数 试求 (板书)分析：首先让学生认清 的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算含义1：当自变量 取3时，对应的函数值即 ；含义2：定义域中原象3的象 ，根据求象的方法知 而 应表示原象 的象，即 计算之后，要求学生了解 与 的区别， 是常量，而 是变量， 只是 中一个特殊值最后指出在刚才的题目中 是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数 不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究三、小结1. 函数的定义2. 对函数三要素的认识3. 对函数符号的认识四、作业：略五、板书设计22函数 例1例3一. 函数的概念1. 定义2.
11、 本质 例2小结：3. 函数三要素的认识及作用4. 对函数符号的理解 扩展资料关于复合函数高中数学对函数的研究主要类型有常见函数(七类)，由上述常见函数构成的复合函数，由常见函数做四则运算而得到的函数及实际生产生活中产生的函数其中重点是前两类常见函数在课本中都将系统研究，而复合函数在课本中没有给出定义，所以在这里我们对复合函数做点介绍一般来说，如果 是 的函数，而 又是 的函数，即 ，那么 关于 的函数 叫做 和 的复合函数，其中 叫做中间变量在复合函数 中，自变量是 ， 是中间变量，因变量是 ， 是通过中间变量与自变量 间接建立起函数关系的如 就可以看作反比例函数 与二次函数 复合而成，如果
12、给出函数 ， ，它们就可以复合成一个以 为自变量 为因变量的函数关系即 在刚才形成这个复合函数的函数关系的过程实际上就是一个换元的过程，而且处理复合函数的很多问题都需要用换元法去处理有了复合函数的概念，下列问题我们就都可以解决了1已知函数 求 2已知函数 的定义域为 ，求 的定义域3已知函数 ，求 扩展资料函数史话设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作 当集合A，B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射 就叫定义域A到值域B上的函数笛卡儿引入变量后，随之而来的便是函数
13、的概念他指出y和 是变量（“未知量和未定的量”）的时候，也注意到y依赖于而变 这正是函数思想的萌芽但是他没有使用“函数”这个词“函数”这个词用作数学的术语，最早是莱布尼茨，但其含义和现在不同，他指的是关于曲线上某点的一些线段的长（如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等）1718年，瑞士数学家约翰贝努利给出函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这个词他写道“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量”“函数”这个概念随着数学的不断发展而变化历史上每个阶段，都有它相应的定义18世纪，欧拉曾经前后给出函数的三种定义：1将函数定义为“解析表示式”他写道：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些
14、常量以任何方式组成的”2将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在 平面上徒手画出来的曲线所表示的y与 之间的关系”3将函数定义为“变量之间的依赖变化”他说：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则前面的变量称为后面变量的函数”用现代的眼光去看，这三种定义都有一定的局限性第1种、第3种两种定义容易理解，所以现在仍然被一些通俗的读物所采用，缺点在于过分狭窄，因为许多函数是没有解析表达式的，也有些函数并不随自变量 的变化而变化第2个定义意义不够明确且局限于表达方式不管怎样，欧拉定义对后世的影响很大1837年，德国数学家秋里赫勒进一步给出函数的
15、定义：“对于在某区间上的每一个确定的 值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做 的函数”这已经相当接近现在许多教科书所采用的定义19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系这是目前一般教科书所用的“集合对应”定义采用“集合对应”定义以后，摆脱了“变量”一词“变量”一词的意义至今尚不清楚“自变量”这个提法本身也是有缺点的，因为变量必定依赖于时间而变，也就是它必定是时间的函数，不可能脱离时间而“自变量”对于函数采用了“集合对应”定义以后，摆脱了“变量”与“自变量”等名词，定义函数无需再依赖于时间了而变量这个词许多学者主张废弃不用，有人主张将“自变量”“因变量”改为“第
16、一值”“第二值”我国“函数”一词，是代微积拾级中首先使用的，这本书把函数定义为：“凡此变数中含彼变数，则此为彼之函数”这里“函”是包含的意思这定义大致相当于欧拉的解析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量 ，那么这个式子就是 的函数函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一，而变量这个词却逐渐被新的词所代替（2）函数值域的两种基本求解方法由函数值域的定义，函数值的集合叫做函数的值域，因此函数的值域可由定义域直接推算例如： 的值域为 ， 中，因为 为大于等于1的一切实数，所以 ，即函数的值域为 另一方面我们可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数 看做是关于自变量 的方程， 在值域中任取
17、一个值 ， 对应的自变量 一定为方程 在定义域中的一个解，即方程 在定义域内有解；另一方面若 取某值 ，方程 在定义域内有解 ，则 一定为 对应的函数值从方程的角度，函数的值域即为使关于 的方程 在定义域内有解的 的取值范围，如 变形得 ，方程在定义域 内有解的条件为 ， 即为函数的值域基于上述对函数值域概念的理解，求函数值域问题可通过直接推算和方程讨论两种方法解决例1 求函数 的值域分析：此题是关于 的一次分式函数，这种题目可通过求关于 的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形（分离常量），观察得出结果解法1：把函数看成是 的方程，变形得 （ ），进一步整理得 方程在定义域 内有
18、解的条件即为： 所求的值域为 解法2：将原函数变形为 ，即函数值域为 例2 求函数 的值域解：易得函数的定义域为R由函数解析式： 当 时，方程 在定义域R内无解 当 时，有 ，所以当且仅当 时 有实数解 综上所述，函数的值域是 例3 对于定义域为实数集R的函数 （ 为常数），回答下列下列问题：（1）若 则 ；（2）当 取由（1）所确定的值时，求 的值域解：（1）由 得 ， （2）当 时，所给函数变为 定义域为R由解析式得： 当 时， 属于函数的值域当 时，若方程有实数解，则 ，解得： （ ）故函数 的值域为 直接推算的方法要注意对函数式的化简，方程讨论的方法要在定义域内进行探究活动函数在数学及
19、实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与函数有关的问题如在我们身边就有不少分段函数的实例，下面就是一个生活中的分段函数夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤04元6斤以上9斤以下，每斤05元，9斤以上，每斤06元此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱同学们，你知道顾客是怎样店主坑人了呢?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以至用，就能成为一个聪明人，因为数学可以
20、使人聪明起来答案：若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了 习题精选(1)在下列四组函数中， 与 表示同一函数的是( ) (2)设 ， ，函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的图象可以是( )(3)给定映射 ，在映射 下象 的原象是 ，则函数 的顶点坐标是_(4)求下列函数的定义域 ； ； (5)已知 ，则 (6)求下列函数的值域： ； ； ； (7)已知函数 满足 ，且 ，那么 等于( ) (8)已知函数 的定义域为 则 的值分别为_(9)已知 ，且 ，则实数 的值为_(10)半径为 的圆内接等腰梯形 ，它的下底 是
21、直径，上底 的端点在圆周上， 写出这个梯形周长 和腰长 之间的函数式，并求它的定义域答案：(1)B； (2)B； (3) ； (4) ； (5)2； (6) ； (7)B； (8) ； (9) ；(10) ， 典型例题例1 判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由(1) 与 ；(2) 与 (3) 与 ；(4) 与 ；(5) 与 分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较，而求定义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论解：(1)不同，因为它们定义域不同(2)不同，前者的定义域是 或 ，后者的定
22、义域是 (3)相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1(4)不同，定义域是相同的，但对应法则不同(4)相同，将 利用绝对值定义去掉绝对值结果就是 说明：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函数对应法则必须认清它的本质，而不是从表面上做判断例2 已知集合 ， ，那么集合 中所含元素个数为( ) 0 1 0或1 1或2分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度
23、提高认识解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在 中，令 ，看有几个相应的 与之对应；从形的角度即 的图象与直线 有几个公共点，由于 是不确定的，于是当 时，有一个交点，当 时，则没有交点，所以应选 说明：此题目的在于进一步认识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解决问题例3 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式(1) ； ； (3) ；(4) ；(5) ； (6) ，( 为圆的半径)分析：求定义域即使 的解析式有意义，其中要注意有实际背景的问题和人为限制因素对定义域的影响解：(1)使 有意义应满足 故函数的
24、定义域为 (2)使 有意义应满足 故函数定义域为 (3)使 有意义应满足 故函数定义域为 (4)分段函数的定义域为 (5)由于 ，所以 或 故定义域为 (6)从 有意义的角度对 没有限制，但由于 使圆的半径，应使非负数，故函数定义域为 说明：此题的目的一方面掌握求定义域的基本方法，熟悉用区间表示集合，另一方面包含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求定义域应注意的问题例4 画出下列函数的图象(1) 且 ； (2) ；(3) ； (4) 分析：对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图象的影响对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外
25、注意解：如图所示：例5 某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打85折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受75折的优惠若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数 与所支付的费用 之间的函数关系，并画出其图象分析：阅读理解题意是解此题的第一步，其次注意题目的限制条件对定义域的制约解：由题意可得， 如图：说明：一方面提高应用意识，另一方面体会函数图象的特点可以是一群孤立的点例6 若 求 的值分析：既然求 ，当然应在已知中令 得 ，从方程的观点看，把 和 都当作未知数而要求得 的值，还须再找出另一个 与 的方程解：另 得 ，另 ，得 由此消去 ，解得 =1说明：把抽象函数记号与方程思想融与一体，深刻体会两者之间的关系是此题的主要目的