1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 二十七平面向量的数量积及应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以=23+1(-1)=5.2.已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD的中点,则=()A.-1B.0C.1D.2【解题提示
2、】结合图形,建立平面直角坐标系,转化为坐标计算.【解析】选B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以=(2,1),=(-1,2),所以=-2+2=0.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.方法一:如图,由平面几何的知识知ABEBCF,所以1=2,因为1+3=90,所以2+3=90,即AEBF,所以=0.方法二:选取,为基底,则=+,=-.因为|=|=2,所以=-+=0.3.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若mn,则e1与e2的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.因为mn,|e1|=|e
3、2|=1,所以mn=(e1+2e2)(5e1-4e2)=5e12+6e1e2-8e22=-3+6e1e2=0.即e1e2=.设e1与e2的夹角为,则cos=.因为0,所以=.【加固训练】(2016厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为,所以cos=.又0,故=.4.(2016德州模拟)如图,在ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,=60,则|=()A.1B.2C.D.5【解析】选C.根据题意,O为BC中点,所以=(+),|2=(+2+)=(
4、12+213cos60+32)=;所以|=.5.(2016济南模拟)已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则|=()A.2B.4C.6D.8【解析】选A.因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以|=2|m-n|=2=2=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015湖北高考)已知向量,|=3,则=.【解析】因为向量,所以=0,即(-)=0,所以-=0,即=9.答案:97.(2016哈尔滨模拟)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=
5、0,则t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得t+1-t=0,所以t=2.答案:28.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C,D两点都在圆O上,且|=2,则|+|=.【解题提示】结合图形进行向量的分解与合成,转化,化简后再求模.【解析】如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,显然COD是边长为2的等边三角形,所以|=,故|+|=|2|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点A(1,0),B(0
6、,1),C(2sin,cos).(1)若|=|,求的值.(2)若(+2)=1,其中O为坐标原点,求sincos的值.【解析】因为A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos),所以=(2sin-1,cos),=(2sin,cos-1).(1)|=|,所以=,化简得2sin=cos,所以tan=,所以=-5.(2)=(1,0),=(0,1),=(2sin,cos),所以+2=(1,2),因为(+2)=1,所以2sin+2cos=1.所以(sin+cos)2=,所以sincos=-.10.(2016德州模拟)已知向量p=(cos-5,-sin),q=(sin-5,cos),pq且(0,).(1
7、)求tan2的值.(2)求2sin2-sin.【解析】(1)因为p=(cos-5,-sin),q=(sin-5,cos),pq,所以(cos-5)cos-(sin-5)(-sin)=0,整理得:sin+cos=0,因为(0,),所以,所以sin-cos=,解得:sin=,cos=-,所以tan=-,则tan2=.(2)因为cos=-,所以原式=1-cos-sin=1-cos+sin-sin-cos=1-cos=.(20分钟40分)1.(5分)(2016石家庄模拟)在ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=()A.B.C.2D.3【解题提示】利用已知条件,求得,夹角的余弦,再用余弦定理求BC
8、.【解析】选D.设A=,因为=-,AB=4,AC=3,所以=-=9-=1.所以=8.cos=,所以BC=3. 2.(5分)(2015福建高考)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【解题提示】结合题意建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.【解析】选A.以A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B,=(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而=,=(-1,t-4),所以=-4t-+17-2+17=13,当且仅当4t=即t=时,等号成立.【加固训练】(2016东营模拟)若a,b是单位向量,ab=0,且|c-a|+
9、|c-2b|=,则|c+2a|的范围是()A.1,3B.2,3C.D.【解题提示】根据向量a,b的关系,转化为向量的坐标运算.【解析】选D.因为a,b是单位向量,且ab=0,所以不妨设a,b分别是与x轴,y轴正方向相同的单位向量,即a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),则c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|=+=,上式的几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,0),B(0,2)的距离之和为的点的集合,而|AB|=,所以点P在线段AB上,如图.|c+2a|=的几何意义是动点P(x,y)到定点C(-2,0)的距离,过C
10、作CDAB,垂足为D,则|CD|=,又|CA|=3,所以|c+2a|3.3.(5分)(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=,则的值为 . 【解题提示】结合图形,先选取基底并表示相关向量,再利用数量积的概念求解.【解析】在等腰梯形ABCD中,由ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,得=,=1,=-1,=,所以=+=1+-=.答案:4.(12分)(2015陕西高考)C的内角,C所对的边分别为a,b,c.向量m=与n=平行.(1)求.(2)若a=,b=2求C的面积.【解题提示】(1)先利用mn得出as
11、inB-bcosA=0,再利用正弦定理转化求得tanA的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsinA=.5.(13分)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2ab+b2=4,
12、2-2ab+1=4,所以ab=-.设a与b的夹角为,则cos=-.(2)令a与b的夹角为.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|b|cos0,因为|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cos0,当x=1时,式子显然成立;当x1时,cos-=-,由于-,故cos-;当x-,故cos-,所以cos=-,解得=.【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令a与b的夹角为,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,因为|a|=,|b|=1,所以x2+2xcos-2cos-10,对一切实数x恒成立,所以=8cos2+8cos+40,即(cos+1)20,故cos=-,因为0,所以=.关闭Word文档返回原板块
