1、要点导学各个击破构造新数列成等差数列或等比数列例1已知在数列an中,a1=1,a2=,an+1-an+an-1=0(n2且nN*).(1) 若数列an+1+an是等比数列,求实数的值;(2) 求数列an的前n项和Sn.【分析】(1) 由于数列an+1+an是等比数列,故可设an+1+an=(an+an-1)(n1),对照条件再变形为an+1+(-)an-an-1=0(n1).比较系数即可得的值.(2) 根据(1)中求得的的值,可求出an与an-1间的递推关系式,从而求出通项an=,再采用分组求和可求出Sn.【解答】(1) 设an+1+an=(an+an-1)(n1),则an+1+(-)an-a
2、n-1=0(n1).所以解得=-或=-3.当=-时,首项a2-a1=30符合题意;当=-3时,首项a2-3a1=0符合题意,所以=-或=-3.(2) 方法一:由(1)得an-an-1=3n-1且an-3an-1=,解得an=,所以Sn=.方法二:由an-3an-1=,得-=3,又=,所以=+=+3+=,解得an=,所以Sn=.【点评】构造新数列成等差数列或等比数列实际上是化归思想.当我们遇到一个从表面看不是等差、等比数列时,应该向等差、等比数列转化,找出隐含在题目中的等差、等比数列.从而将我们不熟识的问题转化成我们熟识的问题.变式已知数列an的首项a1=,=,nN*.(1) 求证:数列为等比数
3、列;(2) 记Sn=+,若Sn100,求最大正整数n.【解答】(1) 因为=+,所以-1=-.又因为-10,所以-10(nN*).所以数列为等比数列.(2) 由(1)可得-1=,所以=2+1.Sn=+=n+2=n+2=n+1-,若Sn100,则n+1-100,所以最大正整数n的值为99.数列求和问题例2(2014全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=10,a2为整数,且SnS4.(1) 求an的通项公式;(2) 设bn=,求数列bn的前n项和Tn.【分析】(1) 由已知可得等差数列an的公差d为整数.由SnS4可得a40,a50,列出不等式组解得d的范围,从而可确定整数d的值,最后由
4、等差数列的通项公式可求得数列an的通项公式.(2) 由已知先写出bn=,列出Tn的表达式Tn=b1+b2+bn=+,由于bn可分裂为故采用裂项相消法求Tn.【解答】(1) 由a1=10,a2为整数知等差数列an的公差d为整数.又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0,解得-d-,因此d=-3,故数列an的通项公式an=13-3n.(2) 由(1)知bn=,所以Tn=b1+b2+bn=+（-）=.【点评】本题求和采用的方法是裂项相消法.数列求和有裂项相消法、错位相减法、分组求和法、倒序相加法等.变式(2014山东卷)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S
5、4成等比数列.(1) 求数列an的通项公式;(2) 令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.【解答】(1) 已知d=2,S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d.因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1S4,解得a1=1,所以an=2n-1.(2) bn=(-1)n-1=(-1)n-1（+）,当n为偶数时,Tn=-+-+（+）-（+）,所以Tn=1-=;当n为奇数时,Tn=-+-（+）+（+）,所以Tn=1+=.所以Tn=数列与不等式综合例3已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1) 证明是等比数列,并求数列an的通项公式;(2) 求证:+.【分析】本题第(1)
6、问,证明等比数列,可利用等比数列的定义来证明,之后利用等比数列定义求出其通项公式;对第(2)问,可先由第(1)问求出,然后转化为等比数列求和,放缩法证明不等式.【解答】(1) 由an+1=3an+1,得an+1+=3,所以=3,所以是以首项为a1+=,公比为3的等比数列,所以an+=3n-1,即an=.(2) 由(1)知an=,所以=.因为当n1时,3n-123n-1,所以,于是+1+=,所以+0,故f(0)=-a1a2a9=-(a1a9=-512.4. (2014肇庆期末)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1) 求数列an的通项公式;(2) 设Sn为数列的前n项和,求Sn;(3) 求证:+(nN*).【解答】(1) 因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),故数列an+1是以首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,an=2n-1.(2) 因为=,所以Sn=1+, Sn=+,以上两式相减,得Sn=1+-=-=2-.所以Sn=4-.(3) 因为=,设T=+,则T+=+, 所以T-=-.
