1、第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学 习 目 标核 心 素 养 1了解复合函数的概念(易混点)2理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养2借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1复合函数的概念 一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记
2、作_yf(g(x)思考：函数 ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示 函数 ylog2(x1)是由 ylog2u 及 ux1 两个函数复合而成的2复合函数的求导法则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx_，即 y 对 x 的导数等于_yuuxy对u的导数与u对x的导数的乘积1已知函数 f(x)cos xln x，则 f(1)的值为()A1sin 1 B1sin 1Csin 11Dsin 1A 因为 f(x)sin x1x，所以 f(1)sin 1111sin 1.故选 A.2函数 y13x12的导数是()Ay63x13 By63x12Cy63
3、x13Dy63x12C y13x12，y213x13(3x1)63x13.3函数 yln(x2)的导数是_答案 y 1x24函数 y sin2x1是由_三个函数复合而成的答案 y u，uv21，vsin x合 作 探 究 释 疑 难 复合函数的导数【例 1】求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y12x13；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数 y12x13可看作函数 yu3 和 u2x1 的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u4 6(2x1)
4、462x14.(3)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u和 u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x)5uln 25x1ln 2.(4)函数 ysin3x 可看作函数 yu3 和 usin x 的复合函数，函数ysin 3x 可看作函数 ysin v 和 v3x 的复合函数 yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟进训练1求下列函数的导数(1
5、)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)y2sin3x6；(4)y112x.解(1)令 u3x2，则 y10u，所以 yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.(2)令 uexx2，则 yln u，所以 yxyuux1u(exx2)1exx2(ex2x)ex2xexx2.(3)设 y2sin u，u3x6，则 yxyuux2cos u36cos3x6.(4)设 yu12，u12x，则 yxyuuxu12(12x)12u32(2)(12x)32.复合函数与导数的运算法则的综合应用【例 2】求下列函数的导数(1)yln 3xex；(2)yx 1x2；(3)yxcos2x
6、2 sin2x2.解(1)(ln 3x)13x(3x)1x，yln 3xexln 3xexex2 1xln 3xex1xln 3xxex.(2)y(x 1x2)x 1x2x(1x2)1x2x21x2 12x2 1x21x2.(3)yxcos2x2 sin2x2 x(sin 2x)cos 2x12xsin 4x，y12xsin 4x12sin 4xx2cos 4x4 12sin 4x2xcos 4x.应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地
7、求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟进训练2求下列函数的导数(1)ysin2x3；(2)ysin3xsin x3；(3)y11x；(4)yxln(1x)解(1)y1cos 23x2，y12cos 23x213sin 23x.(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x2 3sin2xcos x3x2cos x3.(3)y0 1x1x121x121x1x 121x 1x.(4)yxln(1x)xln(1x)ln(1x)x1x.导数运算法则的综合应用探究问题1若直线 yx
8、b 与曲线 yex 相切于点 P，你能求出切点坐标及 b 的值吗？提示 设 P(x0，y0)，由题意可知 y|xx0ex0，所以 ex01，即 x00，点 P(0,1)由点 P(0,1)在直线 yxb 上可知 b1.2若点 P 是曲线 yex 上的任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离？提示 如图，当曲线 yex 在点 P(x0，y0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最近，则曲线 yex 在点 P(x0，y0)处的切线斜率为 1，又y(ex)ex，ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为 22.【例 3】
9、(1)曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是()A 5 B2 5C3 5D0(2)设曲线 yeax 在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则a_.思路探究：(1)设Px0，y0由y|xx02求Px0，y0 点到直线的距离求最小值(2)求y|x0由y|x02求a的值(1)A(2)2(1)设曲线 yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30 平行 y22x1，y|xx022x012，解得 x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线 2xy 30 的距离为 d|203|41 5，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最
10、短距离是 5.(2)令 yf(x)，则曲线 yeax 在点(0,1)处的切线的斜率为 f(0)，又切线与直线 x2y10 垂直，所以 f(0)2.因为 f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以 f(0)ae0a，故 a2.1(变条件)本例(1)的条件变为“曲线 yln(2x1)上的点到直线2xym0 的最小距离为 2 5”，求 m 的值解 由题意可知，设切点 P(x0，y0)，则 y|xx022x012，x01，即切点 P(1,0)，|20m|52 5，解得 m8 或12.即实数 m 的值为 8 或12.2(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积解 由题意可知
11、，切线方程为 y12x，即 2xy10.令 x0 得 y1；令 y0 得 x12.S1212114.本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键课 堂 小 结 提 素 养 1导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数2求简单复合函数 f(axb)的导数实质是运用
12、整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数 yf(u)，uaxb 的形式，然后再对 yf(u)与 uaxb 分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为 yf(u)，uaxb的形式是关键1函数 y(x21)n 的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx21答案 A2函数 y(2 0198x)3 的导数 y()A3(2 0198x)2B24xC24(2 0198x)2D24(2 0198x)2C y3(2 0198x)2(2 0198x)3(2 0198x)2(8)24(2 0198x)2.3函数 yx2cos 2x 的导数为
13、()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xB y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4已知 f(x)ln(3x1)，则 f(1)_.32 f(x)33x1，f(1)33132.5求曲线 yex2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积解 y12ex2，切线的斜率 k12e2，则切线方程为 ye2e22(x4)，令 x0，得 ye2，令 y0，得 x2，切线与坐标轴围成的面积为122|e2|e2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
