1、第十四单元 随机变量及其分布 知识体系第三节离散型随机变量的均值与方差基础梳理x p 均值 数学期望 ix1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称 为随机变量X的 或 ，记为E(X)或,即E(X)=,其中 是随机变量X的可能取值，是概率，0,i=1,2,n,它反映了离散型随机变量取值的 .1x2xnx1p2pnp1122.nnx px px p1122.nnx px px pip12.1npppip平均水平 ip（2）方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示，则 (=E(X)描述了 (i=1,2,n)相对于均值的偏离程度，故 （其中 0,i=1
2、,2,n,)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为 或 ,也可用公式V(X)=计算，其算术平方根称为X的标准差，即 .2.均值与方差的性质（1）E(aX+b)=aE(X)+b;(2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数).2ixix2221122.nnxpxpxp12.1nppp221niiix pV(X)2=V(X)3.两点分布与二项分布的均值、方差（1）若X服从两点分布，则E(X)=,V(X)=.(2)若XB（n,p）,则E(X)=,V(X)=.典例分析题型一 求随机变量的均值【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学
3、和2个B班的同学；乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数的分布列及期望.p p(1-p)np np(1-p)分析 所有可能的取值为1,2,3.1 2 3 p 解 设甲景点内A班同学数为,则 P（=1）=,P(=2)=P(=3)=故的分布列为 E()=11231145310C CC C 111123221111454512C CC CC CC C1122114515C CC C 151231031119123102510 学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为：（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）计算出X
4、取每一个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）利用公式E(X)=求出期望.1122.nnx px px p举一反三 1.(2009安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定了D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）.1312解析:随机变量X的分布列是 X的均值E(X)=x 1 2 3 p 111111233266 121316
5、题型二 求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X 0 1 3 P 解 （1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为 (2)E(X)=V(X)=33213A 133312CA 33116A 1312161110131326 2221
6、110 11 13 11326学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出V(X).说明：若XB(n,p)，则E(X)=np，V(X)=np(1-p)；若XH(n,M,N），则E(X)=,V(X)=nMN21nM NMNnNN举一反三 2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差V(X).解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为 (2)
7、X的均值E(X)和方差V(X)分别为 E(X)=;V(X)=3133152235CC122133151235C CC21213315135C CCX 0 1 2 P 135123522352212120123535355 2222222122152012535535535175题型三 期望与方差性质的应用【例3】有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两个建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中X和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好.X 1
8、10 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 分析 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值，然后再比较它们的方差.解 E(X)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125.E()=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.V(X)=V()=由于E(X)=E(),而V(X)V()，故甲建材厂的材料稳定性较好.222220.1110 1250.2120 1250.4125 1250.1130 1250.2 135
9、 12550222220.1110 1250.2115 1250.4125 1250.1130 1250.2 145 125165学后反思 离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数，均值反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时，一般先根据均值的大小来决定，当均值相同或相差不大时，再去利用方差来决策.举一反三 3.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0p1）,用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差V(X)的最大值；（2）求 的最大值.21V XE X12解析：(1)随机变量X的所有可能取值为0、1,并且有P(
10、X=1)=p,P(X=0)=1-p,从而E(X)=0(1-p)+1p=p.V(X)=当p=时，V(X)取得最大值14.(2)0p1,222011pppppp22121122ppV XpE Xpp122 2pp当且仅当 ,即 时取等号，故当 时，取得最大值 .12pp22p 22p 21V XE X22 2题型四 期望与方差的综合应用【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)
11、求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)=0.63,.2 P(=2)=0.25,.3 P(=1)=0.1,4 P(=-2)=.5 故的分布列为 7 1260.63200 500.25200 200.1200 40.02200 6 2 1-2 p 0.63 0.25 0.1 0.02(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-
12、2）0.02=4.34 .9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12 依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多为3%.14 学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.举一反三 4.(2009陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：（1）求a的值和的数学期望；（2）假设一月份
13、与二月份被消费者设诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a 解析:(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.0 1 2 3 p 0.1 0.3 0.4 0.2 1222CPA的概率分布为 E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得 P()=P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08,P()=P(=1)=0.3 =
14、0.09,P(A)=P()+P()=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.1A2A12C21A2A2易错警示【例】盒子里有大小相同的10个球，其中标号为1的有3个球，标号为2的有4个球，标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球（假设取到的每个球的可能性都相同）.记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.错解 由题意可知X可取3,6,7;P(X=3)=C120.30.4=0.24;P(X=6)=C120.30.3=0.18;P(X=7)=C120.40.3=0.24.故随机变量X的分布列为 X 3 6
15、 7 P 0.24 0.18 0.24 错解分析 错解忽视两次取到的球的标号相同，因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.正解 由题意可知，随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09,P(X=3)=C120.30.4=0.24,P(X=4)=0.40.4=0.16,P(X=6)=C120.30.3=0.18,P(X=7)=C120.40.3=0.24,P(X=10)=0.30.3=0.09.故随机变量X的分布列为 X 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 考点演练10.刚上大学的甲进校时购买了一
16、部新手机，他把手机号码抄给同学乙，第二天，同学乙在准备给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复，求拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望.解析:由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为 ,拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望 E(3)=11011131231010105 11.(2009天津模拟)某箱中有红球和白球若干，有放回地抽取两次球，每次随机抽取1个球，假设事件A“取出的2个球中至多有1个是白球”的概率P（A）=0.91.（1）求从该箱中任取1个球是白球的概率p;(2)若该箱中共有100个球，从中任意抽取2个
17、球，表示取出的2个球中红球的个数，求的分布列和期望.10.3p 解析：(1)记 表示事件“取出的2个球中无白球”，表示事件“取出的2个球中恰有1个是白球”，则 、互斥，且 ,故P（A）=P()=P()+P()=于是0.91=,解得 ,(舍)，所以p=0.3.0A1A0A1A01AAA01AA0A1A2122111pC ppp 21p20.3p (2)的可能取值为0,1,2,若该箱共有100个球，由(1)知白球有1000.3=30个，红球有70个.故P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为 E()=230210029330CC1170302100140330C CC2702100
18、161330CC 0 1 2 P 161330140330293302914016170123303303305 12.(2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额.（1）写出的分布列；（2）求数学期望E().12解析：(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(=0)=,P(=5)=,P(=10)=,P(=15)=,P(=20)=,P(=25)=,P(30)=.16433215645161564332164(2)E()=0 5 10 15 20 25 30 P 16433215645161564332164315515315101520253015326416643264