1、第六节 正弦定理和余弦定理第六节 正弦定理和余弦定理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 asinA bsinB csinCb2c22bccosA定理 正弦定理 余弦定理 内容 _2R(R为ABC外接圆半径)a2_；b2_；c2_;c2a22cacosBa2b22abcosC正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理 变形形式 a_，b_，c_；sinA_，sinB_，sinC_；abc_；cosA_；cosB_；cosC_;2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinAsinBsinCabcsinAsinBsinC asinAb2
2、c2a22bcc2a2b22caa2b2c22ab提示：充要条件因为 sinAsinB a2R b2RabAB.思考感悟在ABC中，“sinAsinB”是“AB”的什么条件？课前热身 1 已知ABC 中，a 2，b 3，B60，那么角 A 等于_答案：45 2(2011年常州质检)在ABC中，a2b2c2bc，则A等于_ 答案：1203在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积是_ 答案：15 344(2010 年高考广东卷)已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b 3，AC2B，则 sinA_.答案：12考点探究挑战高考 正弦定理的应用考点突
3、破 利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角例1【思路分析】(1)先求出角B，再利用正弦定理求角A；(2)直接利用正弦定理求解(1)(2010 年高考山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 2，b2，sin Bcos B 2，则角 A 的大小为_(2)满足 A45，a2，c 6的ABC 的个数为_【解析】(1)sinBcosB 2sin4B 2，sin4B 1.又 0B，B4.由正弦定理，得 sin AasinBb2 22212.又 ab，AB，A6.(2)由正弦定理得 asinA csinC
4、，故2sin456sinC，即 sinC 32，C60或 120.当 C60时，可得 B75；当 C120时，可得 B15.显然这两解均符合题意，故这样的三角形有 2个【答案】(1)6(2)2【名师点评】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况余弦定理的应用 利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的 例2在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c2，C3.(1)若ABC 的面
5、积等于 3，求 a，b 的值；(2)若 sinB2sinA，求ABC 的面积【思路分析】由正、余弦定理及面积公式列关于a，b的方程组【解】(1)由余弦定理得 a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2)由正弦定理，已知条件可化为 b2a，联立方程组a2b2ab4，b2a，解得 a2 33，b4 33.所以ABC 的面积 S12absinC2 33.【名师点评】余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，在能够确定三边的情况下求三角形的面积，只要再求得三角形的一个角就可以了三角形形状的
6、判定 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别 例3(2010年高考辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状【思路分析】(1)把角的三角函数化为边，(2)把边化为角的三角函数【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.由余弦定理得 a2b2c22bccosA，故 cosA
7、12，A120.(2)由 得sin2A sin2B sin2C sinBsinC.又 sinBsinC1，故 sinBsinC12.因为 0B90，0C90 A90 Ab 一解 一解 一解 ab 无解 无解 一解 absinA 两解 absinA 一解 a0 知Bb，A60，B 为锐角cosB 1sin2B1 33 2 63.答案：632已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 SABCa2b2c24，那么角 C_.解 析：由12absinCa2b2c24得 sinCa2b2c22ab.根据余弦定理得 cosCa2b2c22ab，得 sinCcosC，即 tanC1，故 C
8、4.答案：43在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足(2bc)cosAacosC0.(1)求角 A 的大小；(2)若 a 3，SABC3 34，试判断ABC 的形状，并说明理由解：(1)法一：(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得，(2sinBsinC)cosAsinAcosC0，2sinBcosAsin(AC)0，即 sinB(2cosA1)0.0B，sinB0，cosA12.0A，A3.法二：(2bc)cosAacosC0，由余弦定理得，(2bc)b2c2a22bcaa2b2c22ab0，整理得 b2c2a2bc，cosAb2c2a22bc12.0A，A3.(2)SABC12bcsinA3 34，即 bcsin33 32，bc3，a2b2c22bccosA，b2c26，由得 bc 3，ABC 为等边三角形本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用