1、第六节 空间直角坐标系基础梳理1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系:从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,就建立了空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫做 ,x轴、y轴、z轴叫做 ,这三条坐标轴中每两条确定一个 ,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.坐标原点坐标轴坐标平面x轴 y轴 z轴(3)空间直角坐标系中的坐标 空间任意一点A的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点A的 ,记作 .
2、2.空间中两点间的距离公式 空间中的两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离 ,特别地,空间任一点P(x,y,z)与原点O的距离 .21221221221)z(z)y(y)x(xPP222zyxOP坐标A(x,y,z)典例分析题型一 空间中点的坐标的确定【例1】设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为a,建立适当的空间直角坐标系,求点S、P1、P2、P3和P4的坐标.分析 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.解 正四棱锥S-P1P2P3P4如图所示,其中O为底面正方形的中心,P1P2Oy轴,P1P4Ox轴,SO在Oz轴上.d(P1,P2)=a,而
3、P1、P2、P3、P4均在xOy平面上,在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,0).2a,2a(P,0),2a,2a(P21P4与P2关于原点O对称,又d(S,P1)=a,d(O,P1)=,在RtSOP1中,d(S,O)=,S(0,0,).学后反思 （1）建立适当的空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建系;底面是菱形的直四棱柱，以对角线的交点为原点建系.本例是正四棱锥，以底面中心为原点建系.（2）要尽量把空间点建在坐标轴上，或某一个坐标平面内，使其坐标书写简单、方便，便于运算.,0).2a,2a(P,0),2a,2a
4、(P43a22a222aa22a22举一反三 1.如图，长方体OABCOABC中，OA=3，OC=4，OO=3,AC与BO相交于点P，则点C,B,P的坐标分别为 ,.答案：(0,4,0)(3,4,3)(,2,3)32题型二 空间中点的对称问题【例2】已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标.解 平行四边形对角线互相平分,AC的中点即为BD的中点.设D(x,y,z),又AC的中点O(,4,-1),则 x=5,y=13,z=-3.故D(5,13,-3).分析 本题考查空间中点的坐标的计算公式.学后反思 注意分清线段的端点与中点.27,2z
5、11,2y5,422x272.已知点C为线段AB的中点,且A(1,0,-1),C(2,2,-3).求点B的坐标.举一反三解析：设B(x,y,z),则 ,x=3,y=4,z=-5,B(3,4,-5).2z13,2y0,22x12题型三 空间中两点的距离公式【例3】（14分）正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a ).(1)求MN的长度;(2)当a为何值时，MN的长度最短？2分析 建立恰当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求解.解 (1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB
6、,ABBE,BE平面ABCD.4 AB，BC，BE两两垂直,故以B为原点，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.7 则 ,.10 .12 (2)由(1)可知当a=时，|MN|最短为 .14 22,0,122Maa22,022Naa222222220102222212122MNaaaaaaa 2222学后反思 考虑到所给几何图形中出现了两两垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，通过点的坐标，利用两点间的距离公式求得线段MN的长度，并利用二次函数的最值，求出线段MN的长度的最小值，体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用.3.空间坐标系中,A(1-
7、t,1-t,t),B(2,t,t),求AB的最小值.举一反三解析：当t=时,等号成立,即AB的最小值为 .,55359)515(t22t5t1)(2tt)(1AB222251553考点演练10.已知A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)，aR，求|AB|的最小值.解析：当a=-1时，2222221725510595154ABaaaaa min3 6AB11.如图,正方体边长为1,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O xyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求PQ的最小值.2PQ解析:由题意知,点P的坐标为 设Q的坐标为(0,1,z),其中0z1,则 所以当z=时,有最小值 ,从而PQ有最小值 .1 1 1,2 2 222222111012221122PQzz12122212.如图所示，已知PA平面ABCD,ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MNAB.证明:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设B(a,0,0),D(0,b,0),C(a,b,0),点P(0,0,c),则点M(,0,0),则 MNAB.2a222214ANabc,2 2 2a b cN 222ANAMMN
