1、2022精编复习题（十三） 导数的概念及运算小题对点练点点落实对点练(一)导数的运算1(2021泉州质检)设函数f(x)x(xk)(x2k)，则f(x)()A3x23kxk2Bx22kx2k2C3x26kx2k2D3x26kxk2解析：选C法一：f(x)x(xk)(x2k)，f(x)(xk)(x2k)x(xk)(x2k)(xk)(x2k)x(x2k)x(xk)3x26kx2k2，故选C.法二：因为f(x)x(xk)(x2k)x33kx22k2x，所以f(x)3x26kx2k2，故选C.2(2021泰安一模)给出下列结论：若ylog2x，则y；若y，则y；若f(x)，则f(3)；若yax(a0)
2、，则yaxln a其中正确的个数是()A1B2 C3D4解析：选D根据求导公式可知正确；若yx，则yx，所以正确；若f(x)，则f(x)2x3，所以f(3)，所以正确；若yax(a0)，则yaxln a，所以正确因此正确的结论个数是4，故选D.3若函数yxm的导函数为y6x5，则m()A4B5 C6D7解析：选C因为yxm，所以ymxm1，与y6x5相比较，可得m6.4已知函数f(x)(e是自然对数的底数)，则其导函数f(x)()A.B. C1xD1x解析：选B函数f(x)，则其导函数f(x)，故选B.5若f(x)x22x4ln x，则f(x)0，f(x)2x2，由f(x)0，得0x2，f(x
3、)0的解集为(0,2)，故选B.6(2021信阳模拟)已知函数f(x)aexx，若1f(0)2，则实数a的取值范围是()A.B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：选B根据题意，f(x)aexx，则f(x)(aex)xaex1，则f(0)a1，若1f(0)2，则1a12，解得0a1，所以实数a的取值范围为(0,1)故选B.对点练(二)导数的几何意义1(2021安徽八校联考)函数f(x)tan 在处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析：选Bf(x)，得切线斜率ktan f1，故，选B.2若函数f(x)x3x3的图象在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标为()A(1,3)B(1,3)
4、C(1,3)或(1,3)D(1，3)解析：选Cf(x)3x21，令f(x)2，即3x212x1或1，又f(1)3，f(1)3，所以P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故点P的坐标为(1,3)或(1,3)3(2021福州质检)过点(1,1)与曲线f(x)x3x22x1相切的直线有()A0条B1条C2条D3条解析：选C设切点P(a，a3a22a1)，由f(x)3x22x2，当a1时，可得切线的斜率k3a22a2，所以(3a22a2)(a1)a3a22a，即(3a22a2)(a1)a(a2)(a1)，所以a1，此时k1.又(1,1)是曲线上的点且f(1)3
5、1，故切线有2条4(2021重庆一模)已知直线ya与函数f(x)x3x23x1的图象相切，则实数a的值为()A26或B1或3C8或D8或解析：选D令f(x)x22x30，得x1或x3，f(1)，f(3)8，a或8.5(2021临川一模)函数f(x)x的图象在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选B因为f(x)x，f(x)1，所以f(1)1，f(1)2，故切线方程为y12(x1)令x0，可得y1；令y0，可得x.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，故选B.6(2021成都诊断)若曲线yln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A
6、.B.C(0，)D0，)解析：选D由题意知，函数yln xax2的定义域为(0，)，y2ax0恒成立，即2ax210，a恒成立，又在定义域内，(，0)，所以实数a的取值范围是0，)7(2021柳州二模)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，F(x)，若F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc，则函数f(x)的最小值是()A2B1 C0D1解析：选Cf(x)2xb，F(x)，F(x)，又F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc，得f(x)(x2)20，f(x)min0.8(2021唐山模拟)已知函数f(x)x21，g(x)ln x，则下列说法中正确的为()Af(x)，g(x)的图象在点(1
7、,0)处有公切线B存在f(x)的图象的某条切线与g(x)的图象的某条切线平行Cf(x)，g(x)的图象有且只有一个交点Df(x)，g(x)的图象有且只有三个交点解析：选B对于A，f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y2x2，函数g(x)的图象在点(1,0)处的切线为yx1，故A错误；对于B，函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为yx1，设函数f(x)的图象在点(a，b)处的切线与yx1平行，则f(a)2a1，a，故b 21，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在处的切线平行，B正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C，D错误故选B.9(2021包头一模)已
8、知函数f(x)x3ax1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：函数f(x)x3ax1的导数为f(x)3x2a，f(1)3a，又f(1)a2，所以切线方程为ya2(3a)(x1)，因为切线经过点(2,7)，所以7a2(3a)(21)，解得a1.答案：1大题综合练迁移贯通1(2021兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2x，f(1)2.f(x)2x1，f(1)3.所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.
9、(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)0；当3x4时，h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，h(x)的最大值为m，m0，即m.实数m的取值范围为.2(2021青岛期末)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又因
10、为f(x)a，所以解得所以f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，所以切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.3已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两
11、条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围(3)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由题意，及(1)可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)(3)证明：设存在直线与曲线C同时切于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则点A(x1，y1)处的切线方程为y(x4x13)(xx1)，化简得y(x4x13)x，而点B(x2，y2)处的切线方程是y(x4x23)x.由于两切线是同一直线，则有x4x13x4x23，即x1x24；又有x2xx2x，即(x1x2)(xx1x2x)2(x1x2)(x1x2)0，则(xx1x2x)40，则x1(x1x2)x120，即(4x2)4x120，即x4x240，解得x22.但当x22时，由x1x24得x12，这与x1x2矛盾所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线