1、山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1已知向量2，4，如果，那么等于AB1CD52直线的倾斜角为，则（ ）ABCD3抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD4如图，平行六面体中，AC与BD的交点为点M，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD5直线和圆的位置关系是（ ）A相离B相切或相交C相交D相切6“”是“曲线表示椭圆”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）A或BCD
2、8已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）A B C D二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9经过点的抛物线的标准方程为（ ）ABCD10已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的有（ ）ABCD11已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）A不存在使得曲线为圆B当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件D存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为12如图，已
3、知在棱长为1的正方体中，点E，F，H分别是，的中点，下列结论中正确的是（ ）A平面 B直线与所成的角为60C三棱锥的体积为 D平面三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为_.14已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为_.15已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为_16.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则的值为_四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
4、（本题满分10分）已知向量，.（）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（）若向量与向量，共面，求实数的值.18（本题满分12分）已知圆与直线相切于，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.19（本题满分12分）如图，在正方体中，分别是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论20（本题满分12分）已知抛物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积21（本题满分12分）如图，在等腰梯形中，将沿折起，使平面平面.（1）若是侧棱中点，求证：平面；（2）求
5、直线与平面所成角的正弦值.22（本题满分12分）已知椭圆的离心率，短轴长为2，、是椭圆上、下两个顶点，在椭圆上且非顶点，直线交轴于点，是椭圆的左，右顶点，直线，交于点（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与轴平行期中考试数学试题 参考答案1B 2A 3C 4C 5C 6B 7B 8A 9AC 10BC 11BC 12ACD13或 1415 16 217解：()因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数()因为向量与向量，共面,所以设（）.因为, 所以 所以实数的值为.18.（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为，又因为圆与直线 相切于，则由条件可得，化简为，解得，所以圆心为，半径，故所
6、求圆的方程为；（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为.综上所述，则直线的方程为或.19.以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为则，（1）设异面直线与所成角为，即异面直线与所成角的余弦值为：（2）假设在棱上存在点，使得平面则，设平面的法向量，令，则， ，解得： 棱上存在点，满足，使得平面20.（1）因为抛物线：过点，所以，解得，所以抛物线的方程为（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，联立直线与抛物线方程，消去可得，所以，所以，所以的面积为21.（1）在梯形中，取的中点，连接、，则，且，则四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2），平面平面，面面，面，面，以为坐标原点，以、分别为、轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，设平面的法向量为，则由，令，则，即，设直线与平面所成的角为，则.22.（1）由题意可得，又，所以可得，所以椭圆的方程为：；（2）证明：因为，是椭圆的上下两个顶点，则，设，设直线的方程为：，又，故直线的方程为，令，可得，联立，整理可得，则，则，由题意可得，所以直线的方程为：，直线的方程为：，联立方程：，即，解得，所以，所以直线轴