1、2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|2x21，B=x|y=ln（1x），则AB=2若命题“xR，使x2+（a1）x+10”是假命题，则实数a的取值范围为3已知向量，若为实数，则=4若，则tan=5函数f（x）=ax3+x2+x有极值的充要条件是6在等比数列an中，a5a11=3，a3+a13=4，则=7函数在区间上的最大值是8已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为9在ABC中，若，则=10函数y=sinx（xR）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，
2、则tanOPB11定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，且f（）=0；A为ABC的内角，且满足f（cosA）0，则A的取值范围是12已知曲线C：y=3x2，点A（0，3）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是13在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点An（n，n+5），若用f（n）表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+f（2011）=14下列命题中，正确命题的序号是函数f（x）=x3+3x2+3x关于点（1，1）对称；定义在R上的奇函数中一定有f（x+1）f（x）；函数满足f
3、（x+2）=f（x）；ABC中，A90，则存在sinBcosC二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15己知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=（）求f（x）的最大值与最小值；（）求f（x）的单调增区间16在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，O为ABC的外心（1）若b=2，求的值；（2）已知，b=2，c=3，求的值17已知二次函数f（x）=x216x+q+3：（1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t0），当xt，10时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为1
4、2t18现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB底面CDEF市场上，底座单价为每米10元，支杆AB单价为每米20元设侧棱BC与底面所成的角为（1）写出tan的取值范围；（2）当取何值时，支架总费用y（元）最少？19把正奇数数列2n1中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表：设amn（m，nN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数（1）求a73；（2）若amn=2011，求m，n的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上
5、往下数第n行各数的和为bn，求数列f（bn）的前n项和Sn20已知函数f（x）=alnx+b（aR）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=0，求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（3）若3a0，且对任意x1，x2（0，t，都有|f（x1）f（x2）|4|，求实数t的取值范围2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|2x21，B=x|y=ln（1x），则AB=x|x1考点：交集及其运算专题：计算题分析：由集合A=x|2x21，可得
6、A=x|x2，由B=x|y=ln（1x）可得x|x1，然后根据交集的定义即可求解解答：解：由集合A=x|2x21，可得A=x|x2，由B=x|y=ln（1x）可得x|x1，AB=x|x1，故答案为：x|x1点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义2若命题“xR，使x2+（a1）x+10”是假命题，则实数a的取值范围为1a3考点：命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用分析：先求出命题的否定，再用恒成立来求解解答：解：命题“xR，使x2+（a1）x+10”的否定是：“xR，使x2+（a1）x+10”即：=（a1）240，1a3故答案是1a3点评：本题通过逻辑用语来考查函数
7、中的恒成立问题3已知向量，若为实数，则=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：根据向量坐标的运算公式以及向量平行的等价条件建立方程关系即可解答：解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）+=（1+，2），（+），4（1+）23=0，即=，故答案为：点评：本题主要考查向量坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式，注意和向量垂直的坐标公式的区别4若，则tan=考点：运用诱导公式化简求值专题：计算题分析：利用诱导公式对已知可得sin的值，结合，利用同角三角函数间的基本关系可求得cos的值，然后由求出的sin和cos的值，再利用同角三角函数的基本关系即可求出tan的值解答：解
8、：由诱导公式可得：，sin=，=故答案为：点评：本题主要考查了诱导公式、同角基本关系在求解三角函数中的应用，属于基础试题，解题的关键是灵活利用公式5函数f（x）=ax3+x2+x有极值的充要条件是a考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题；导数的概念及应用分析：若a0，三次函数f（x）=ax3+x2+x有极值，f（x）=0有不相等的两个解，利用判别式即可求得结论，若a=0，函数为二次函数可知有极值解答：解：求得导函数f（x）=3ax2+2x+1，若a0，三次函数f（x）有极值，则f（x）=0有不相等的两个解，=412a0，a，若a=0，导函数f（x）=3ax2+2x+1=2x+1令f（x）0，
9、则x；令f（x）0，则x；函数在x=处取得极小值综上得，a故答案为：a点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于中档题6在等比数列an中，a5a11=3，a3+a13=4，则=或3考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的性质我们易得到a5a11=a3a13=3，从而构造了关于a3和a13的方程组，即可求得a3，a13，求出对应的公比q，即可得到的值解答：解：在等比数列an中，设公比为q，a5a11=a3a13=3，又a3+a13=4，a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1，当a3=1，a13=3时，则q10=3，=q10=3；当a3=
10、3，a13=1时，则q10=，=q10=综合可得，=或3故答案为：或3点评：本题考查的知识点是等比数列的性质以及等比数列的通项公式，其中根据a5a11=a3a13=3，结合a3+a13=4构造方程组，求出a3与a13的值，是解答本题的关键，考查了转化的数学思想方法属于基础题7函数在区间上的最大值是+1考点：二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，利用求导法则求出导函数，令导函数值为0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，可得出函数的单调区间，由函数的单调性可得函数的最大值解答：解：=x2+2（1+cosx）=x+2cosx，y=2
11、sinx，令y=0，解得sinx=，又x，x=，当0x时，y0，函数为增函数；当x时，y0，函数为减函数，则当x=时，函数取最大值，最大值为=+1故答案为：+1点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，求导法则，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求函数的最值，熟练运用三角函数的恒等变形把函数解析式化简是本题的突破点，解题的关键是利用导函数的正负得出函数的单调性8已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为1a0考点：函数零点的判定定理专题：作图题；数形结合；运动思想分析：图解法：画出图象如图所示，根据函数图象与函数g（x）图象之间的关系，当x0时，相同；当x0时，f（x）的图象是由g（x）图象
12、上下平移而得到，因此可以求出满足条件的实数a的取值范围解答：解：画出图象如图所示，则当x0时，f（x）的图象与x轴只有一个交点，要使函数有三个不同零点，只有当x0时，函数的图象与x轴有两个交点即可，而|x+1|+a是由|x+1|上下平移而得到，因此1a0故答案为：1a0点评：此题是个中档题考查利用函数图象分析解决问题的能力，以及函数图象的平移变换，和函数零点与函数图象与x轴的交点之间的关系，体现 数形结合的思想9在ABC中，若，则=考点：向量在几何中的应用专题：计算题分析：根据=，则2=（），将条件数据代入即可求出所求解答：解：=2=（）=1（2）=3=故答案为：点评：本题主要考查了向量在几何
13、中的应用，以及向量的数量积的计算，属于中档题10函数y=sinx（xR）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tanOPB8考点：两角和与差的正切函数；正弦函数的图象专题：计算题分析：过P作PQ垂直于x轴，由正弦函数解析式y=sinc，根据正弦函数的图象，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，找出P和B的坐标，进而得到|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，分别在直角三角形OPQ和PQB中，利用锐角三角函数定义表示出tanOPQ和tanBPQ，由OPB=OPQ+BPQ，利用两角和与差的正切函数公式化简tanOPB，把各自的值代入即可求出tanOPB 的值解
14、答：解：过P作PQx轴，如图所示：函数y=sinc，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，P（，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=，|OB|=2，|QB|=|OB|OQ|=，在RtOPQ中，tanOPQ=，在RtPQB中，tanBPQ=，tanOPB=tan（OPQ+BPQ）=8故答案为：8点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义，正弦函数的图象与性质，其中作出辅助线PQ，找出P和B的坐标是解本题的关键11定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，且f（）=0；A为ABC的内角，且满足f（cosA）0，则A的取值范围是（）考点：余弦函数的单调性；函
15、数单调性的性质；偶函数专题：计算题分析：本题是一个利用函数的单调性解不等式的题，由题设条件函数是一个偶函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，且f（）=0知，函数在（，0）上减，且f（）=0，由此可以将f（cosA）0转化为三角不等式，从而解出角的取值范围解答：解：由题意定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，且f（）=0；函数在（，0）上减，且f（）=0，由f（cosA）0得cosA由余弦函数的性质知A（）故答案为（）点评：本题考查余弦函数的性质，利用余弦函数的性质解三角不等式，解题的关键是利用所给的抽象函数的性质将不等式转化为三角不等式，再由余弦函数的性质解出角的取值范围，本
16、题涉及到了函数的单调性奇偶性，综合性较强12已知曲线C：y=3x2，点A（0，3）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是21，15考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由题意知直线AB和曲线C的关系是：相切或没有公共点，写出直线AB的方程y=，联立曲线C的方程并消去y得到：，该方程有唯一解或无解，从而0，这样即可得出实数a的取值范围解答：解：如图，要使视线不被C挡住，则直线AB和C没有公共点或相切；直线AB的方程为；方程组有唯一解或无解；有唯一解或无解；解得21a15；实数a的取值范围是21，15故答案为：21，15点评：考查数形结合解题的方法，清
17、楚直线和曲线的位置关系同直线方程与曲线方程形成方程组解的对应关系，直线的点斜式方程，以及一元二次方程解的情况和判别式取值的关系13在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点An（n，n+5），若用f（n）表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+f（2011）=804考点：函数的值专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：因为线段OAn斜率k=1+，所在直线方程为y=x+x，所以n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数由此入手能够求出f（1）+f（2）+f（2011）的值解答：解：线段OAn斜率k=1+，所在直线方程
18、为y=x+x，n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数当n=5，10，15，20，2010时，线段OAn上有除端点外的2个整点数列5，10，15，20，2010是首项为5，公差为5的等差数列，其通项公式为am=5m由5m=2010知m=402，f（1）+f（2）+f（2010）=2402=804，故答案为：804点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设条件中的隐含条件14下列命题中，正确命题的序号是函数f（x）=x3+3x2+3x关于点（1，1）对称；定义在R上的奇函数中一定有f（x+1）f（x）；函数满足f（x+2）=f（x）；ABC中，A90，则存在sinBc
19、osC考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；函数的性质及应用；解三角形分析：在y=f（x）的图象上任取点（x0，y0），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；证明（x，y）不在y=f（x）的图象上即可利用奇函数的定义即可证明错误；利用诱导公式即可证明正确；利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可得cosAsinCcosC（1sinA）由已知可得A90可得cosA0，sinC0，cosC0，1sinA0，从而证明结论错误解答：解：在y=f（x）的图象上任取点（x0，y0），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；则，即x0=2x，y0=2y；则2y=（2x）3+3（2x）2+3（2x），整理
20、可得，y=x39x2+27x24，y=f（x）的图象关于（1，1）对称的曲线方程不为y=f（x），即函数f（x）图象的不关于点（1，1）对称，故错误；定义在R上的奇函数，f（0）=0，解得：a=1，f（x）=f（x），解得：=，整理可得：ex=1，故错误；由f（x+2）=sin=sin（+）=sin（+）=f（x），故正确；若sinBcosC成立，sin（AC）cosC，sin（A+C）cosC，即sinAcosC+cosAsinCcosC，整理可得：cosAsinCcosC（1sinA）A90，cosA0，sinC0，cosC0，1sinA0，cosAsinCcosC（1sinA）矛盾，故错
21、误故答案为：点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，奇函数的性质及应用，综合性较强，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15己知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=（）求f（x）的最大值与最小值；（）求f（x）的单调增区间考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=sin（2x+）+1，从而可求f（x）的最大值与最小值；（）由（）得f（x）=sin（2x+）+
22、1，令+2k2x+2k，kZ，即可求得其单调增区间解答：解：（）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，f（x）=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，当x=+k（kZ）时，f（x）取得最大值，为+1；当x=+k（kZ）时，f（x）取得最小值，为+1；（）令+2k2x+2k，kZ，则+kx+k，kZ，f（x）的单调增区间为+k，+k，kZ点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查分析与应用能力，属于中档题16在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，O为ABC的外心（1）若b=2，求
23、的值；（2）已知，b=2，c=3，求的值考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：（1）设外接圆半径为R，由题意和余弦定理求出cosCAO，由向量的数量积运算求出的值；（2）利用三角形的面积公式和条件求出sinA，由ABC为锐角三角形、特殊角的正弦值求出BAC，由余弦、正弦定理求出a和R，由圆的性质和BAC求出BOC，由向量的数量积运算求出的值解答：解：（1）设外接圆半径为R，在AOC中，且b=2，由余弦定理得，cosCAO=，=2R=2；（2），b=2，c=3，=，解得sinBAC=，ABC为锐角三角形，BAC=60，则cosBAC=，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosB
24、AC=4+96=7，解得a=，由正弦定理可得，2R=，则R=，O为ABC的外心，BOC=2BAC=120，=|OB|OC|cosBOC=点评：本题考查平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，三角形的面积公式，圆周角定理，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键17已知二次函数f（x）=x216x+q+3：（1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t0），当xt，10时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12t考点：二次函数的性质；函数的零点专题：函数的性质及应用分析：（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在1，1上为单调函数，要使函数在区间1，1上存
25、在零点，则f（1）f（1）0，由此可解q的取值范围；（2）分t8，最大值是f（t）；t8，最大值是f（10）；8t10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12t求出t的值，验证范围后即可得到答案解答：解：（1）二次函数f（x）=x216x+q+3的对称轴是x=8函数f（x）在区间1，1上单调递减要使函数f（x）在区间1，1上存在零点，须满足f（1）f（1）0即（1+16+q+3）（116+q+3）0解得20q12所以使函数f（x）在区间1，1上存在零点的实数q的取值范围是20，12；（2）当时，即0t6时，f（x）的值域为：f（8），f（t），即q61，t216t+q+3t216t+
26、q+3（q61）=t216t+64=12tt215t+52=0，经检验不合题意，舍去当时，即6t8时，f（x）的值域为：f（8），f（10），即q61，q57q57（q61）=4=12tt=8经检验t=8不合题意，舍去当t8时，f（x）的值域为：f（t），f（10），即t216t+q+3，q57q57（t216t+q+3）=t2+16t60=12tt217t+72=0，t=8或t=9经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t0），当xt，10时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12t点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类
27、是解答该题的关键，是中档题18现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB底面CDEF市场上，底座单价为每米10元，支杆AB单价为每米20元设侧棱BC与底面所成的角为（1）写出tan的取值范围；（2）当取何值时，支架总费用y（元）最少？考点：在实际问题中建立三角函数模型专题：综合题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，所以tan的最大值为6，从而得出tan的取值范围；（2）先写出支架总费用y的函数
28、表达式：，设，其中tan（0，6通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解解答：解：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，tan的最大值为6可得tan（0，6（3分）（2）（7分）=，（8分）设，其中tan（0，6（9分）则，.（11分）当时，；当时，；当时，；（13分）则当时，f（）取得最小值，满足tan（0，6）（14分）则当时，费用y最小（15分）点评：本题给出实际应用问题，考查解三角形、数学上的换元思想和用基本不等式求函数最值等知识，解答的关键是利用三角函数得出总费用y的函数表达式19把正奇数数列2n1中的数按上小下大、左小右大的原则排成
29、如图的三角形数表：设amn（m，nN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数（1）求a73；（2）若amn=2011，求m，n的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列f（bn）的前n项和Sn考点：数列的求和；归纳推理专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用前t1行共有数的个数为1+2+（t1）可确定每行第1个数的值，通过每行数构成公差为2的等差数列，进而计算即得结论；（2）通过每行第1个数的值可确定m=45，进而利用等差数列的知识计算即得结论；（3）通过（1）可知第n行第1个数为n2n+1、最后一个数为n2+n1，进而f（bn）=n，利
30、用错位相减法计算即得结论解答：解：（1）根据题意可知：前t1行共有1+2+（t1）=个数，第t行第1个数为1+21+2=t2t+1，a73=（727+1）+22=47；（2）由（1）可知：第45行第1个数为：45245+1=1981，第46行第1个数为：46246+1=2071，又amn=2011，m=45，1981+2（n1）=2011，解得：n=16，综上，当amn=2011时，m=45、n=16；（3）由（1）可知：第n行第1个数为n2n+1，最后一个数为：n2n+1+2（n1）=n2+n1，bn=（n2n+1）+（n2+n1）=n3，函数，f（bn）=n，Sn=1+2+n，Sn=1+2
31、+（n1）+n，两式相减得：Sn=+n=n=1（1+），Sn=2（n+2）点评：本题是一道关于数列的应用题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题20已知函数f（x）=alnx+b（aR）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=0，求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（3）若3a0，且对任意x1，x2（0，t，都有|f（x1）f（x2）|4|，求实数t的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=
32、0，即可求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，f（1）=1a=0，即可求实数a的值；（3）3a0，f（x）=x0，函数在（0，t上单调递增，不妨设0x1x21，则|f（x1）f（x2）|4|，可化为f（x2）+f（x1）+，设h（x）=f（x）+=alnx+b+，则h（x）在（0，t上是减函数，进一步等价于x3ax40在（0，t上恒成立，即可求实数t的取值范围解答：解：（1）f（x）=alnx+b，f（x）=x，曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=0，1a=3，f（1）=0a=2，+b=0，a=2，b=；（2）x=1是函数f（x）的极值点，f（1）=1a=0，a=1；（3）3a0，f（x）=x0，函数在（0，t上单调递增不妨设0x1x21，则|f（x1）f（x2）|4|，可化为f（x2）+f（x1）+设h（x）=f（x）+=alnx+b+，则h（x）在（0，t上是减函数又h（x）=x，等价于x3ax40在（0，t上恒成立设g（x）=x3ax4，则g（x）=3x2a0，t3at40，3a0，t3+3t40，t2或t=1点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属难题