1、第二节 空间几何体的表面积与体积基础梳理1.直棱柱、正棱锥、正棱台的概念、侧面展开图及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 .平面展开图名称 概念 展开图举例及说明 侧面积公式 直棱柱与正棱柱 侧棱和底面垂直棱 柱叫做 底面是正多边形的 叫做正棱柱 棱柱的侧面展开图是矩形 S直棱柱侧=正棱锥 底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫做 正棱锥的侧面展开 图是一些全等的等 腰三角形 S正棱锥侧=正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做 正n棱台的侧面展 开图是n个全等的 等腰 S正棱台侧=hc 21h)
2、cc(21直棱柱直棱柱ch 正棱锥正棱台2.旋转体的表面积公式(1)圆柱的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(2)圆锥的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(3)圆台的表面积公式S=(其中r,r为上、下底面半径,l为母线长).(4)球的表面积公式S=(其中R为球半径).3.几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(2)锥体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(3)台体的体积公式V=(其中S,S为上、下底面面积,h为高).(4)球的体积公式V=(其中R为球半径).Sh31)SSSh(S313R342r(r+l)r(r+l)(r+r)l+(r
3、2+r2)4R2 Sh 典例分析【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.题型一 几何体的表面积问题 分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素.解 如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.设A1B1=20,AB=30,则可得 OD=,O1D1=.353310由S侧=S上+S下,得 (20+30)3DD1=(202+302),DD1=.在直角梯形O1ODD
4、1中,O1O=,棱台的高为 cm.2143331334)DO(ODDD2112134学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三 1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和.解析：如图,延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则ASO=30.在RtSAO中,SA=2r.在RtSAO中,SA=4r.SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a.圆台
5、上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为 0sin30rSA 02sin30rSA 222212255SSSrrra25 a【例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为Q1、Q2,求它的侧面积.分析 要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可.解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则S侧=4al.因过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形,从而 Q1=ACl,Q2=BDl,则 又ACBD,即4a2l2=Q12+Q22,即2al=,S侧=4al=.lQBD,lQAC21222a)2BD()2AC(,a)2lQ()2lQ(222212221QQ
6、2221QQ2学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.（2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少运算量，简化运算过程.举一反三 2.三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),BAC=2,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2角,求三棱柱的侧面积.111ABCABC1A1AA解析：如图所示,作ODAB于D,则AD=Rcos,AB=2Rcos,AB,AOBC,由三垂线定理得 BC,故 BC.又BC=2Rsin 2,1A D1co
7、scos2cos2ADRAA1 1221sin 22costan 2AA B BSA A ABR1AA1BB11212costan 2B BCCSB B BCR1 111222costan 22cos1AA B BB BCCSSSR三棱柱侧【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，各侧棱长均为8 cm，求它的侧面积和体积.题型二几何体的体积问题分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求解.解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形.取BC中点E,连接PE交 B1C1于点E1,则PEBC,E1E为侧面等腰梯
8、形的高.作PO底面ABCD交上底面于点O1,连接O1E1、OE.在PB1C1和PBC中,2184BCCBPBPB111PB1=B1B=8,B1为PB的中点,E1为PE的中点.在RtPEB中,PE=(cm),E1E=(cm).在RtPOE中,PO=OO1=PO=(cm).S四棱台侧=4S梯形BCC1B1=,V四棱台=V四棱锥PABCD-V四棱锥PA1B1C1D1=S四边形ABCDPO-S四边形A1B1C1D1PO1=82414-42214=(cm3).154416BEPB2222152PE21(cm)1444)15(4OEPE222221142)(cm1548211522313131313142
9、24学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的桥梁.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三 3.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,四边形ABFE为等腰梯形,且ADE、BCF均为正三角形,EF=2,则该多面体的体积为.答案：解析：如图
10、,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH.易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=.可得 12321221224AGDBHCSS 12112122134234243E AGDF BHCAGD BHCVVVV 23题型三 组合体的体积和表面积问题【例4】(14分)如图，正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切.求棱锥的表面积和球的半径.分析 先画截面图再求解.解 过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE.2 因为ABC是正三角形，易知AE既是ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线.作为正三棱锥的高PD既通过球心O,且D也是A
11、BC的重心4 据此根据底面边长为 ，即可算出 ,.6 ,.8 又F为球与平面PBC的切点,OFPE.设OF=r,10 由POFPED,知 ,.12 .14 2 61132 62332DEAE2123PE 1rrDEPE123rr62r 21332 632 6249 26 3SSS 侧表底学后反思（1）球与多面体、旋转体的相接、相切问题简称为组合体问题，这类问题能够很好地考查学生对空间图形的识图、辨别能力，更能考查学生的空间想象能力，所以在高考中一直是热点题型.复习中要注意总结规律，掌握常见问题的求解方法.(2)相切或相接问题一般通过作出截面，使构成组合体的各个简单体中的主要元素尽可能集中在该截
12、面中，从而转化成平面图形的计算加以解决.旋转体之间的相接、相切问题，通常作出它们的共轴的截面;旋转体与多面体之间的相接、相切问题，一般作出它们接、切的某个公共点与轴所确定的截面.举一反三 4.将一个棱长为6 cm的正方体加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为 .答案:36 解析：易知正方体的内切球体积最大，设其内切球的半径为R，则根据题意知2R=6，即R=3,故其内切球的体积 24363VR考点演练10.（2010苏州质检）半径为R的半圆卷成一个圆锥，求它的体积.解析:设所求圆锥底面半径为r，高为h，则R=2r,故所求圆锥的体积为 12rR2232hRrR2231133334224RVrhR
13、R11.一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积和体积.解析：如图，过S作SO平面ABC，垂足为O，过S作SDAB交AB于D，连接OD，则SO=a，ODAB，且O是ABC的中心.又AB=BC=AC=a,OD=,12.在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60，求这个平行六面体的体积.36 a2233966SDaaa23393412Vaa正三棱锥侧1A1A解析:如图所示，作 平面ABCD，在底面上的射影O落在BAD的角平分线上.因此有 即 ,不妨设 A=a,AB=b,AD=c,1AO01160A ABA AD 11coscoscosA ABA AOCAB001cos60coscos30A AO13cos3A AO16sin3A AO03sin 602ABCDSbcbc11sin633222ABCDABCDVAO SaA AO Sabcabc