1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本性质 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础,即三个公理和公理3的三个推论.公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上 都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 .基础梳理两点所有的点经过这个公共点的一条直线公理3:经过不在同一条直线上的三点,.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,.推论2:经过两条相交直线,.推论3:经过两条平行直线,.2.空间两条直线的位置关系 位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内平行直线没有不同在任何一个平面内没有有且只有一个平面有且只有
2、一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面异面直线在同一平面内有且只有一个3.平行直线的公理及定理(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线 .(2)定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ,那么这两个角相等.4.异面直线的判定及所成的角(1)异面直线的判定 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内 的直线是异面直线.互相平行平行相同不经过该点(3)异面直线垂直的定义 若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b ,记作 .(2)异面直线所成的角 如果a,b是两条异面直线,那么经过空间任意一点O,作直线aa,bb,直线a和b所成的 (或直角)叫做异面直线a,b所成的角.
3、锐角互相垂直ab【例1】下列命题:空间不同三点确定一个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 .典例分析题型一点、线、面的位置关系分析 根据公理及其推论作判断.解 由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题、均错,中有可能出现两平面 只有一条公共线(当这三个公共点共线时);对于,空间两两相交的三条直线有三个交点或 一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点
4、,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形和梯形由公理3的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;对于,如图,在正方体ABCDABCD中,直线 BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.故只有正确.学后反思 平面性质的三个公理及其推论,是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三 1.给出下列命题:如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任意三点的平面有且只有一个;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这
5、两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为 .解析:由公理2知,错;由公理3知,错;对;不平行的两直线可能异面.答案：题型二 证明三点共线【例2】如图，是正方体 的上底面 的中心，M是对角线 和截面 的交点.求证：、M、A三点共线.1O1111ABCDABC D1111A B C D1AC11B D A1O分析 要证明 、M、A三点共线，只需证明三点都在平面 和平面 的交线上.1O11B D A11AACC学后反思 证明多点共线的方法：以公理2为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面
6、的交线，然后证明第三个点也在交线上，同理其他的点都在交线上，即多点共线.证明 =,平面 ，平面 ,平面 平面 =M，平面 M平面 ,M平面 又A平面 ,A平面 、M、A在两个平面 和平面 的交线上，由公理2可知 、M、A三点共线.1AC1O1BD11B D11B D A11AC11AACC1O11B D A1O11AACC1AC11B D A1AC11AACC11B D A11AACC11B D A11AACC1O11B D A11AACC1O举一反三 2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、
7、CD上的点,且直线EF和GH的延长线交于点P(如图).求证:点B、D、P在同一条直线上.证明：由于直线EF和GH交于点P,P直线EF.又直线EF 平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三证明点线共面【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条直线交于一点，另一种是任何三条直线都不共点，故分两种情况证明.证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面.由O平面,A平面,O直线a
8、,A直线a,知直线a平面;同理b平面,c平面.故直线a,b,c,d共面于.学后反思 证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G.由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c;同理可证d.所以直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.举一反三 3.在正方体 中,E是
9、AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、C四点共面.1111ABCDABC D1AA1D1AA证明：如图，连接 ,EF,.E是AB的中点,F是 的中点,EF EF 故E、F、C四点共面.1A B1CD1A B1CD1A B1CD1D题型四证明三线共点【例4】(14分)已知空间四边形ABCD中,E、F分别 是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且 .求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.证明 E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF=BD.3 又 ,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,.5
10、 四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,2HCDHGCBG2HCDHGCBG2131设两腰EG、FH的延长线相交于一点P.7 EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.9 又平面ABC平面ACD=AC,PAC.12 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.14 学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理2可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.举一反三 4.已知正方体 中，E、F分别为棱AB、的中点.求证：三条直线DA,CE,交于一点.1111ABCDABC D1AA1
11、D F证明：如图，直线DA平面 ，直线 平面 ，显然直线DA与直线 不平行，设直线DA与直线 交于点M.同理，直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行，设直线AD与直线CE相交于点M.又E，F为棱AB，的中点,易知MA=AD，MA=AD,所以M、M为直线AD上的同一点,因此，三条直线DA，CE，交于一点.1AD1D F1AD1D F1D F1AA1D F易错警示【例】如图,过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解 P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面.同理,PB、PC、BC共面,PC、PD、CD共面.A、B
12、、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,用A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面上,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.正解 过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四条直线共面.考点演练10.异面直线a、b所成的角为60，P为空间一点，求过P与a、b均成60角的直线的条数.解析：先利用平移把异面直线转化到一个平
13、面上的相交直线，且夹角为60，交点为P，然后利用图形判断把直线进行旋转，可以得到这样的直线仅有3条.11.如图，在空间四边形ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 试判定EF,GH,BD的位置关系，并证明.23DHDFHAFC解析：EF，GH，BD交于一点.证明如下:,FHAC，FH=AC.又G，E分别为AB，BC的中点，GEAC，GE=AC，于是GEFH且GEFH，四边形EGHF是梯形.GH与EF的延长线必相交于一点P.则PGH,又GH 平面ABD，P平面ABD.同理可证P平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，PBD,直线EF、GH、BD交于一点.23DHDFHAFC251212.在空间四边形ABCD中，AD=BC=,E、F分别是AB、CD的中点，EF=1.求异面直线AD和BC所成的角，异面直线EF和BC所成的角.2解析：如图,取BD的中点M，连接EM,FM.E是AB的中点，EMAD,EM=AD=.F是CD的中点,MFBC,MF=BC=.在MEF中，EMMF,MFE=45.异面直线AD、BC所成的角为90,异面直线EF、BC所成的角为45.1222122222211122EMMFEF