1、第11节导数的简单应用 【选题明细表】知识点、方法题号函数的单调性与导数1、4、8函数的极值与导数2、5、9函数的最值与导数3、6、7优化问题10、13综合应用11、12、14一、选择题1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是单调函数,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,-,+)(B)-,(C)(-,-)(,+)(D)(-,)解析:f(x)=-3x2+2ax-1,依题意f(x)0,在(-,+)恒成立,故=4a2-120,解得-a,故选B.2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于(C)(A)11或18(B)11(C)18(D)17或
2、18解析:函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,f(1)=10,且f(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.f(x)=x3+4x2-11x+16,f(2)=18.故选C.3.函数f(x)=x+2cos x在0,上取得最大值时x的值为(B)(A)0(B)(C)(D)解析:由于f(x)=1-2sin x,令f(x)=0得,sin x=,又x0,所以x=.且f=+,又f(0)=2,f=,所以f为最大值.故选B.4.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+)上是增函数,则实数k的取值范围是(A)(A)-2,+)(B)2,+)(C)(-,-2(D)(
3、-,2解析:因为h(x)=2+,若h(x)在(1,+)上是增函数,则h(x)0在(1,+)上恒成立,故2+0恒成立,即k-2x2恒成立.又x1,-2x20)在1,+)上的最大值为,则a的值为(D)(A)(B)(C)+1(D)-1解析:f(x)=,当x时,f(x)0,f(x)单调递减,当-x0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)=,=0.解得a2或a1时,令f(x)=0可得x=,当x时,f(x)0,f(x)为增函数.x=为极值点,要使f(x)0成立,只需即a=4.答案:4三、解答题12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x-1,2),且函数f(x)在x=1和x
4、=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由于f(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f(1)=0且f-=0,所以解得(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).f(x)0得,x1或x3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.解:(1)设容器的容积为V,由题意知V=+r2l,又V=,+r2l=,l=-=.由l2r,得r2,0r2,所以建造费用y=2rl3+4r2c=2r3+4r2c,y=-8r2+4cr2(0r2)
5、.(2)由(1)得y=-16r+8cr=(cr3-2r3-20)=(0r2).当0时,令y=0,r=.当r时,y0,函数单调递增.r=是函数的极小值点,也是最小值点.当2,即3c时,当r(0,2)时,y0,函数单调递减,r=2是函数的最小值点.综上所述,当3时,容器的建造费用最小时r=.14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1f(x)e2对x1,e恒成立.(注:e为自然对数的底数)解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x0,所以f(x)=-2x+a=-.由于a0,所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减
6、区间为(a,+).(2)由题意得f(1)=a-1e-1,即ae.由(1)知f(x)在1,e内单调递增,要使e-1f(x)e2对x1,e恒成立.只要解得a=e.大题冲关集训(一) 1.(2013汕头市普通高中高三一模)已知函数f(x)=x2-ln x.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax,a0,若x(0,e时,g(x)的最小值是3,求实数a的值.(e是自然对数的底数)解:(1)f(x)=x2-ln x,f(x)=2x-,则曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为f(1)=2-1=1.又f(1)=1,
7、所求切线方程是y-1=x-1,即x-y=0.(2)函数f(x)=x2-ln x的定义域是(0,+),令f(x)=2x-0,解得0x0,x=.当e,即0a时,g(x)=0在(0,e上恒成立,则函数g(x)在(0,e上是减函数,则由条件知g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去).当0时,列表如下:x0,eeg(x)-0+g(x)单调递减极小值1+ln a单调递增ae-1由表知g(x)min=1+ln a,令1+ln a=3,a=e2满足条件.综上可知,所求实数a的值为e2.2.(2013大连期中)设函数f(x)=x+ax2+bln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜
8、率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)2x-2.(1)解:f(x)=1+2ax+.由已知条件得即解得(2)证明:因为f(x)的定义域为(0,+),由(1)知f(x)=x-x2+3ln x.设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,则g(x)=-1-2x+=-.当0x0,当x1时,g(x)0时,g(x)0,即f(x)2x-2.3.(2013贵阳二模)已知函数f(x)=x2+aln x.(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值;(2)若a=1,求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;(3)若a=1,求证:在区间1,+)上,函数f(x)的图象在
9、函数g(x)=x3的图象的下方.解:(1)由于函数f(x)的定义域为(0,+),当a=-1时,f(x)=x-=,令f(x)=0得x=1或x=-1(舍去),当x(0,1)时,函数f(x)单调递减,当x(1,+)时,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值为.(2)当a=1时,易知函数f(x)在1,e上为增函数,f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1.(3)证明:设F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,则F(x)=x+-2x2=,当x1时,F(x)0,故F(x)在区间1,+)上是减函数,又F(1)=-0,在区间1,+)上,F(x)0恒成立.即f(
10、x)0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值;(3)若f(x)0,f(x)0,故f(x)在(0,+)上是单调递增函数.(2)由(1)可知,f(x)=.若a-1,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)min=f(1)=-a=,a=-(舍去).若a-e,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减函数,f(x)min=f(e)=1-=,a=-(舍去).若-ea-1,令f(x)=0得x=-a,当1x-a时,f(x)0,f(x)在(1,-a)上为减函数,当-ax0,f(x)在(-a,e)上为
11、增函数,f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,a=-.综上所述,a=-.(3)f(x)x2,ln x-0,axln x-x3.令g(x)=xln x-x3,h(x)=g(x)=1+ln x-3x2,h(x)=-6x=.x(1,+)时,h(x)0,h(x)在(1,+)上是减函数.h(x)h(1)=-20,即g(x)0,g(x)在(1,+)上也是减函数.g(x)g(1)=-1,当a-1时,f(x)0).(1)求f(x)在0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值.解:(1)f(x)=aex-,当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在
12、(-ln a,+)上递增;当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在(-,-ln a)上递减.当0a0,f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(-ln a)=2+b;当a1时,-ln a0,f(x)在0,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(0)=a+b.(2)依题意f(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去),所以a=,代入原函数可得2+b=3,即b=,故a=,b=.6.(2013年高考福建卷)已知函数f(x)=x-1+(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x
13、轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.解:(1)由f(x)=x-1+,得f(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f(x)=1-,当a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a),f(x)0,所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.(3)当a=1时,f(x)=x-1+,令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上无实数解.假设k1,此时g(0)=10,g=-1+0,所以方程g(x)=0在R上没有实数解.因此k的最大值为1.