1、数 学 大二轮复习精 准 高考第一部分专题强化突破专题七 概率与统计第二讲 概率及其应用(文)1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦高考考点考点解读利用古典概型求事件的概率1.单纯考查古典概型概率公式的应用2与互斥、对立事件相结合考查3与统计问题相结合命题利用几何概型求事件的概率1.与长度有关的几何概型2与面积有关的几何概型概率与统计的综合问题1.与频率分布相结合命题2与数字特征相结合命题 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握古典概型、几何概型的概率公式及其应用(2)注意古典概型与统计的结合题(3)注意几何概
2、型与线性规划、平面几何相结合的问题 预测2018年命题热点为：(1)古典概型与互斥事件、对立事件相结合问题(2)古典概型与统计相结合问题核心知识整合1古典概型的概率特点：有限性，等可能性P(A)mn_ 2几何概型的概率 特点：无限性，等可能性 P(A)_A包含的基本事件的个数基本事件的总数构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 3随机事件的概率范围：_ 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_ 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(AB)_，即P(A)_ 4互斥事件概率公式的推广 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P
3、(An)0P(A)1 P(A)P(B)P(A)P(B)1 1P(B)1混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件 2不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义 3几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果 4在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型.高考真题体验1(2017天津卷，3)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为导学号 52134845()A45 B35 C25 D15
4、C 解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩色的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P 410 25故选C2(2017全国卷，2)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是导学号 52134846()A14B8C12D4B 解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白
5、12S圆2，所以由几何概型知所求概率PS黑S正方形2228故选B3(2017山东卷，8)从分别标有1,2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是导学号 52134847()A 518B49C59D79C 解析 9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)5948 518，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)4958 518P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)518 51859故选C4(2016全国卷，8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇
6、到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为导学号 52134848()A 710B58C38D 310B 解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为401540585(2017全国卷，3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是导学号 52134849()A13B12C23D56C 解析 将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为236(2017全国卷，11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，
7、放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为导学号 52134850()A 110B15C 310D25D 解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P102525故选D7(2017江苏卷，7)记函数f(x)6xx2 的定义域为D在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_.导学号 52134851解析 由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P5959 8(2017北京卷，17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，
8、根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：导学号 52134852(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例解析(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4
9、，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40,50)内的人数为1001000.955，所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 510020(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为601230，所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为命题热点突破(2016山东卷
10、)某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：导学号 52134853若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由命题方向1 古典概型解析 用数对x，y 表示儿童参加活动先后记录的数，其活动记录与奖励情况如下：yxy x 123411234224683369124481216显然，基本事件总数为16(1
11、)xy3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率 516(2)xy8情况有6种，所以获得水杯的概率 61638，所以小亮获得饮料的概率1 51638 51638，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 规律总结 利用古典概型求概率的方法及注意点(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(2)事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少(2017济南模拟)根据我国发布的环境
12、空气质量指数(AQI)技术规定：空气质量指数划分为050,51100,101150,151200,201300和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动以下是济南市2017年12月中旬的空气质量指数情况：导学号 52134854时间 11日 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 20日AQI1491432512541385569102243269(1)求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；(2)一外
13、地游客在12月来济南旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率解析(1)该实验的基本事件空间11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，基本事件总数n10设事件A“市民不适合进行室外活动日期”，则A13,14,19,20，包含基本事件数m4，所以P(A)41025，即市民不适合进行户外活动的概率为25(2)该实验的基本事件空间(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，(19,20)，基本事件总数n9设事件B“适合旅游的日期”，则B(11,12)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，包含
14、基本事件数m4，所以P(B)49，即适合连续游玩两天的概率为49(2017广州模拟)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log12(x12)1”发生的概率为导学号 52134855()A34 B23 C13 D14命题方向2 几何概型A 解析 由1log12(x12)1，得12x122，解得0 x32，所以事件“1log12 (x12)1”发生的概率为32234，故选A(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_.(用数字作答)导学号 52134856932 解析 设
15、小张和小王到校的时间分别为x和y，则30 x50，30y50，yx5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示故所求概率P1215152020 932 规律总结 判断几何概型中的几何度量形式的方法 1当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关 2当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直观1(2016全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随
16、机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是导学号 52134857()A13 B12 C23 D34B 解析 由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为122如图，圆C内切于扇形AOB，AOB3，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为导学号 52134858()A100 B200C400 D450C 解析 如图，设OA与圆C相切于点D，连接OC，CD，AOB3，则COD6，设圆C的半径为1，可得OC2，所以扇形的半径为3，由几何概型可得点在圆C内的概率为PS圆CS扇形AOB12163223，故向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为236004
17、00(个)(一)频率分布直方图与概率综合应用(2015全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.导学号 52134859命题方向3 概率与统计的综合应用A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用
18、户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为“不满意”的概率大？说明理由 解析(1)如图所示 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.
19、020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以A地区的用户的满意度等级为“不满意”的概率大(二)茎叶图与概率的综合应用(2017开封模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示(把频率当作概率)导学号 52134860(1)假设c5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率解析(1)若c5，则派甲参加比较合适，理由如下：x 甲1
20、8(70280490298842153)85，x 乙18(70180490353525)85，s2甲18(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(9585)235.5，s2乙18(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241x 甲x 乙，s2甲x 甲，则18(75804903352c)85，c5，c6,7,8,9，又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，乙的平均分高于甲的平均分的概率为25(三)独立性检验与概率综合(2017武汉调研)某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监
21、测数据，结果统计如下：导学号 52134861AQI0,50(50,100(100,150(150,200(200,300300空气质量优良轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染天数61418272015(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y0，0 x100，4x400，100300若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中8天为严重污染根据提供的统计数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计1
22、00附：K2nadbc2abcdacbd.P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解析(1)记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A由y400，得x200由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P(A)35100720(2)根据题设中的数据得到如下22列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100将22列联表中的数据代入公式计算，得K21002276382307085154.575因为4.5753.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的
23、空气严重污染与供暖有关”规律总结 求概率与统计综合题的两点注意(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.导学号 52134862 商品顾客人数 甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客
24、中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 2001 0000.2(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002001 0000.3(3)与(1)同，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1001 0000.1所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大课后强化训练