1、第一节 空间几何体的结构 基础梳理1.多面体的结构特征 名称概念图形举例结构特征棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱(1)两个底面是 的多边形,且对应边互相平行;(2)侧面都是 .棱锥棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥(1)底面是 ;(2)侧面是有一个 .棱台棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台(1)上、下两个底面 是 多边形且对应 边互相平行;(2)各侧 棱延长后 .全等平行四边形多边形公共顶点的三角形相似交于一点名称概念图形表示符号表示圆柱圆柱是由矩形绕着它的 所在的直线旋转一周所形成的几何体 圆锥圆锥圆锥是由直角三角形
2、绕着它的一条 所在的直线旋转一周所形成的几何体 圆台圆台是由直角梯形绕着它的 所在的直线旋转一周所形成的几何体 球球半圆绕着它的 所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球 2.旋转体的结构特征 一边圆柱OO 直角边圆锥SO 垂直于底边的腰圆台OO 直径球O 典例分析题型一空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析 要判断几
3、何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,则每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台.图1 图2 图3(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,首先要对原平面图形
4、作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.1.观察如图所示的几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出其主要结构特征.举一反三解析:图1是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶点,16条棱.图2是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.【例2】下列命题中,不正确命题的序号是 .棱长都相等的长方体是正方体;有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱;有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱;底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体.题型二基本概念与性质分析 根据定义进行判断.解 由正方体、平行六面体的定义,知、正确；对于，相邻两侧面
5、垂直于底面，侧棱垂直于底面，该棱柱为直棱柱，因而正确；对于,若两侧面平行且垂直于底面,则不一定是直棱柱.学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法.（2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三 2.下面是关于四棱柱的四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).解析：对于,平行六面体的两个相对侧面也可
6、能与底面垂直且互相平行,故假;对于,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线;同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.答案：题型三柱、锥、台中的计算问题【例3】(14分)如图,正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O1、O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、O
7、E,则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.3 A1B1=4 cm,AB=16 cm,O1E1=2 cm,OE=8 cm,O1B1=22 cm,OB=82 cm,5 7 12 棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.14 19cm,)BO(OBOOBB211211cm135)EO(OEOOEE211211135学后反思 正棱台两底面中心连线,相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线,侧棱与两底面相应外接圆半径组成一个直角梯形;棱柱相应为矩形,棱锥相应为直角三角形.圆台两底面中心连线,相应底面半径、母线组成直角梯形;圆柱相应为矩形,圆锥相应为直角三角形.这些特征图形在解题中经常
8、用到,要能够迅速、准确地画出.将空间问题转化为平面问题是解决立体问题的常用方法.举一反三 3.一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解析：轴截面如图所示.被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径 ,设圆锥的截面圆的半径 为x.OA=AB=R,OAB是等腰直角三角形.又CDOA,则CD=BC,即x=l.截面面积 1O CR1O D1O DAC2222SRlRl易错警示【例】判断下图中的两个多面体是不是台体.错解不是，是.错解 分析根据棱台的定义知，棱台
9、上、下底面是两个相似多边形且延长每条侧棱交于一点，显然两个图形都不满足条件.正解都不是.【例2】如图所示的四个几何体中，是圆柱，是圆锥.错解 错解分析 根据圆柱的定义知其轴截面为矩形，显然不是圆柱；根据圆锥定义，知SOA为直角三角形，故不是圆锥.正解 考点演练10.球的两个平行截面的面积分别是5、8,两截面间的距离为1，求球的半径.解析：设两截面圆半径分别为 和 ，且 若两截面在球心的同侧，则 ,.设球半径为R，则 ，解得R=3;若两截面在球心异侧，同理可得 R无解.综上，球半径R为3.1r2r12rr21155rr22282 2rr215OOR228OOR22581RR22581RR12.圆
10、台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45,求这个圆台的高、母线长和两底面的半径.解析:圆台的轴截面如图,设圆台的上下底面半径分别为 x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S,在RtSOA中,ASO=45,则SAO=45,SO=AO=3x,OO1=2x.又S轴截面=(6x+2x)2x=392,x=7.故圆台的高OO1=14 cm,母线长l=O1O=(cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.21214212.（2010潍坊模拟）如图,已知正四棱台 的上底面边长为1，下底面边长为2,高为1,求线段 的长.1111ABCDABC D1BC解析:连接上底面对角线 的中点 和下底面BD的中点O，得棱台的高 ，过点 作 的平行线交BD于点E，连接CE.在BCE中，由BC=2，,CBE=45，利用余弦定理可得 .在Rt 中,易得 11B D1O1OO1B1OO22BE 102CE 1BCE2211014122B C
