1、第三章3.4考点对应题号基础训练能力提升1.几何中的最值问题1,4,56,122.用料最少、费用最低问题7,8,103.利润最大、效率最好问题2,3,911,13一、选择题1有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积是()A32 m2 B14 m2C16 m2 D18 m2C解析 设矩形的长为x m，则宽为(8x)m，矩形面积为Sx(8x)(0x8)令S82x0，得x4，此时S最大4216 m2.2已知某生产厂家的利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万
2、件C解析 因为yx281，所以当x9时，y0；当0x9时，y0.所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值3在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y 分钟与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示：yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时 B7时C8时 D9时C解析 yt2t36(t12)(t8)，令y0，得t12(舍去)或t8，当6t0，当8t9时，y0，
3、所以当t8时，y有最大值4把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2D解析 设两段长分别为x cm，(12x)cm，这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积之和为S(x)，令S(x)0，解得x6，则x6是S(x)的极小值点，也是最小值点，故S(x)minS(6)2 cm2.5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A cm B cmC cm D cmD解析 设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)
4、，令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0)，令(tan )0，解得x2.4或x2.4(舍去)当0x0；当x2.4时，(tan )0.所以当x2.4时，tan 取得最大值，也取得最大值二、填空题7某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_解析 设平行于墙壁的一边为a米，与其垂直的一边为b米，则ab512，且la2b，所以l2b，所以l2，令l0，得b2256，所以b16(b16舍去)，a32，即当长、宽分别为32米、16米时墙壁所用的材料最省答案 32米和16米8某公司一年购买某
5、种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x为_吨解析 设该公司一年内总共购买n次货物，则n，所以总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20(x20舍去)，当0x20时，f(x)0；当200.所以x20是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x20时，总运费与总存储费之和最小答案 209某厂生产某种产品x件的总成本C(x)1 200x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为_解析 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，
6、即a2x250 000，a.总利润y500x31 200(x0)，yx2，由y0得x25.当x(0,25)时，y0；当x(25，)时，y0.所以当x25时，y取最大值答案 25件三、解答题10有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，试问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解析 如图所示，依题意，点C在线段AD上，设点C距点D x km，则AC50x，因为BD40，所以BC.设总的水管费用为y元，则y3
7、a(50x)5a(0x50)，y3a.令y0，解得x130，x230(舍去)当0x30时，y0；当30x50时，y0.所以当x30时，y取得最小值，此时AC503020(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省11一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10 km，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，求这艘轮船在以何种速度航行时，能使航行1 km的费用总和最小解析 设船速为x(x0)，航行1 km的费用总和为y，设每小时燃料费为y1，则y1kx3(k0)，因为x10时，y16，所以k，y1x3.yx2(x0)因为yx，令y
8、0，解得x20.当0x20时，y0，此时函数为减函数；当x20时，y0，此时函数为增函数所以当x20时函数有最小值，即以每小时20 km的速度航行时，航行1 km的费用总和最小12(2016江苏卷节选)现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解析 设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h m连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(3
9、6h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)当0h2时，V0，V是增函数；当2h6时，V0，V是减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值所以当PO12 m时，仓库的容积最大四、选做题13工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(单位：万件)间的关系为p(c为常数，且0cc时，p，yx3x0；当0xc时，p，所以yx3x.所以日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数，且0cc时，日盈利额为0.当0xc时，因为y，所以y.令y0，得x3或x9(舍去)所以当0c0，所以y在区间(0，c上单调递增，所以y最大值f(c).当3c0，在(3，c)上，y0，所以y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减，所以x3时，y最大值.综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大
