1、第六节 正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第311页A组基础保分练1（2021遵义联考）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2ccos A，sin A1，则sin C的值为（）ABC D解析：sin A1，即sin A，又a2ccos A，cos A0，cos A由条件及正弦定理得sin A2sin Ccos A，即2sin C，sin C答案：B2（2021阳春一中月考）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，cax，b2，B30，若三角形有两个解，则x的取值范围是（）A（2，） B（2，2）C（2，4） D（2，2）解析：因为三角形有两个解，所以xsin B
2、bx，可得2x4，即x的取值范围是（2，4）答案：C3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：因为bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，所以sin（BC）sin2A，又sin（BC）sin A且sin A0，所以sin A1，所以A，所以ABC为直角三角形答案：B4（2021承德期末测试）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若b1，c，cos C，则a（）A3 B4C5 D6解析：由余弦定理可得c
3、os C，即，整理可得（a3）（3a5）0结合a0，可得a3答案：A5（2021江西上饶模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2S（ab）2c2，则tan C的值是（）A BC D解析：因为Sabsin C，c2a2b22abcos C，所以由2S（ab）2c2，可得absin C（ab）2（a2b22abcos C），整理得sin C2cos C2，所以（sin C2cos C）24，所以4，4，化简得3tan2C4tan C0，因为C（0，），所以tan C答案：C6（2021青岛质检）如图，在ABC中，D是AB边上的点，且满足AD3BD，ADACBDB
4、C2，CD，则cos A（）A BC D0解析：设BDx，则AD3x，AC23x，BC2x，易知cosADCcosBDC，由余弦定理可得，解得x故AD1，AC1，cos A0答案：D7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Bc0，a2bc，bc，则_解析：由acos Bc0及正弦定理可得sin Acos Bsin C0因为sin Csin（AB）sin Acos Bcos Asin B，所以cos Asin B0，所以cos A，即A由余弦定理得a2bcb2c2bc，即2b25bc2c20，又bc，所以2答案：28在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
5、足asin Bcos Ccsin Bcos Ab，则B_解析：asin Bcos Ccsin Bcos Ab，sin Asin Bcos Csin Csin Bcos AsinB又sin B0，sin Acos Csin Ccos A，即sin（AC）sin B0B，B或答案：或9（2020高考全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A（1）求A；（2）bca，证明：ABC是直角三角形解析：（1）由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0所以0，cos A由于0A，故A（2）证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A由（1）知BC
6、，所以sin Bsinsin 即sin Bcos B，sin由于0B，故B从而ABC是直角三角形10（2021西安质检）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos22ccos2b（1）求证：2（ac）3b；（2）若cos B，S，求b解析：（1）证明：由已知得a（1cos C）c（1cos A）b在ABC中，过B作BDAC，垂足为D（图略），则acos Cccos Ab所以acb，即2（ac）3b（2）因为cos B，所以sin B因为Sacsin Bac，所以ac8又b2a2c22accos B（ac）22ac（1cos B），2（ac）3b，所以b216，所以
7、b4B组能力提升练1（2021重庆六校联考）在ABC中，cos2（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：已知等式变形得cos B11，即cos B由余弦定理得cos B，代入得，整理得b2a2c2，即C为直角，则ABC为直角三角形答案：A2（2021莱阳一中月考）在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C（3ac）cos B，若4，则ac的值为（）A12 B11C10 D9解析：在ABC中，bcos C（3ac）cos B，由正弦定理可得sin Bcos C（3sin Asin
8、C）cos B，3sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，即3sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，即3sin Acos Bsin（BC）sin A，又sin A0，故cos B由4，可得accos B4，即ac12答案：A3在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状是（）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：2cos Bsin Asin C，2，则ab，所以ABC为等腰三角形答案：C4（2021葫芦岛质检）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，
9、那么b（）A B1C D2解析：由余弦定理得b2a2c22accos B（ac）22ac2accos B，又SABCacsin Bac，故ac6，因为a，b，c成等差数列，所以ac2b，可得b24b2126，整理得b242，得b1答案：B5（2021北京海淀区模拟）在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin Bb，则角A_解析：因为2asin Bb，所以2sin Asin Bsin B，因为B（0，），sin B0，所以sin A，所以A或A因为ABC为锐角三角形，所以A答案：6在ABC中，A2B，AB，BC4，CD平分ACB交AB于点D，则线段AD的长为_解析：因为A2B，B
10、C4，所以由正弦定理，得，所以cos B，则cos Acos 2B2cos2B11在ABC中，ACcos ABCcos BAB，即AC4，解得AC（舍去）或AC3，由三角形的角平分线，得，即，解得AD1答案：17已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R（sin2 Bsin2 A）（bc）sin C，c3（1）求A；（2）若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积解析：（1）对于2R（sin2 Bsin2 A）（bc）sin C，由正弦定理得bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2，所以cos A因为0A180，所以A60（2）以AB
11、，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线在ABE中，ABE120，AE2AD，在ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120，即199AC223AC，得AC2故SABCbcsinBAC8（2021汕头模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsin Aa（2cos B）（1）求角B的大小；（2）D为边AB上一点，且满足CD2，AC4，锐角三角形ACD的面积为，求BC的长解析：（1）由正弦定理得sin Bsin Asin A（2cos B），因为A（0，），则sin A0，所以sin B2cos B，所以2sin2，所以sin1，因为B
12、（0，），所以B，解得B（2）由题意，可得SACDCDCAsinACD24sinACD，解得sinACD又因为ACD为锐角三角形，所以cosACD在ACD中，由余弦定理得AD2CA2CD22CACDcosACD422222416，所以AD4在ACD中，由正弦定理得，则sin AsinACD，在ABC中，由正弦定理得，所以BCC组创新应用练1如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，ABBC1，ACCD，ACCD，当ABC变化时，BD的最大值为_解析：设ACB，则ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即ACDC2cos ，由余弦定理知，BD2BC2D
13、C22BCDCcosDCB，即BD24cos2 1212cos cos2cos 22sin 232sin3由0，可得2，则（BD2）max23，此时，因此（BD）max1答案：12（2021云南师范大学附属中学月考）在ABC中，D为AC上一点，且AD2，DC1，BD为ABC的平分线，则ABC面积的最大值为_解析：如图，BD为ABC的角平分线，且AD2，CD1由角平分线定理知2，令BCm，AB2m，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知1m3在ABC中，由余弦定理知cosABC，所以SABC2mmsinABCm2m23，当且仅当m219m2，即m时取等号，所以ABC面积的最大值为3答案：33如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED若CED，EC（1）求sinBCE的值；（2）求CD的长解析：（1）在BEC中，由正弦定理，知B，BE1，CE，sinBCE（2）CEDB，DEABCE，cosDEAA，AED为直角三角形，又AE5，ED2在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249CD7