1、第二节 直接证明与间接证明基础梳理1.直接证明(1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法.(2)一般形式:(3)综合法 定义:从 出发,以已知的 、为依据,逐 本题结论.逐步本题条件已知定义已知公理已知定理已知条件定义公理定理步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法.推证过程 .(4)分析法 定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步 ,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法.推证过程 已知条件结论结论 已知条件2.间接证明(1)常用的间接证明方法有 、等.(2)反证法的基本步骤 结论上溯反证法同一法枚举法 假设命题的 不成
2、立,即假定原结论的反面为真;从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.典例分析题型一 综合法的应用【例1】已知ab0，求证：.证明 ab0,b ,即2b ,进而-2b,a-+ba+b-2b,即0()2a-b,分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.babaabab2ab2ab2ba baba反设结论归谬已知条件存真反设学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条
3、件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.证明：a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.举一反三1.设a0,b0,a+b=1,求证：.abbaba1ab1abbabbaabaab1b1a18422)2ba(babaab222218ab1b1a1题型二 分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c
4、2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.学后反思 (1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.2.若sin+cos=1,求证：sin6+cos6=1.举一反三证明：
5、由sin+cos=1 sin2+cos2+2sin cos=1 sin cos=0.欲证sin6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+cos4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.题型三 反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少有一个大于0.263分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用
6、反证法.证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2 则a+b+c0,.4 而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8 a+b+c0,10 这与a+b+c0矛盾.12 因此a,b,c中至少有一个大于0.14 236学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.举一反三 3.已知a,b,c是一组勾股数，且 .求证：
7、a,b,c不可能都是奇数.222abc证明：假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,又a,b,c都是奇数,也都是奇数,是偶数，,与已知 相矛盾,a,b,c不可能都是奇数.222abc2a2b2c22ab222abc222abc易错警示【例】设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立.求证:对定义域内任意x都有f(x)0.错解分析 反证法的关键是从假设出发,经过推理论证得出和已知、定义、定理、公理等相矛盾.错解中从这点上出现了错误.错解 假设f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y),与假设f(x)0矛盾.结论成立.2022222xxxxxf
8、xffff正解 又f(x)0,f(x)0.对定义域内任意x都有f(x)0.2022222xxxxxf xffff考点演练10.函数y=(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.log31a x 12mn解析:A(-2,-1),A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.mn0,m0,n0,当且仅当 ,即当m=,n=时等号成立,故 的最小值为8.12242442248mnmnnmnmmnmnmnmn4nmmn141212mn11.已知a,b,c是不等正数，且abc=1.求证：证明：a,b,c是不等正数，且abc=1,c1b1a1cbaab1ca1bc1cba2b1a12a1c12c1b1c1b1a1证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,则 .又由正弦定理,得 ,12.在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.C sin B)-(A sincba222c A 2bcoscc A 2bcos-ccba22222C sinA Bcos 2sin-C sinc A 2bcoscC sin A)-sin(BA)sin(B-C sinC sin B)-(A sin C sin A)-sin(BC sin-C sinC sin B)-(A sincba222