1、第三章3.2 考点对应题号基础训练能力提升1.基本初等函数导数公式的应用1,2,3,4,76,11,122.导数的运算法则的应用103.求复合函数的导数5,8,913一、选择题1已知函数f(x)35，则f(x)()A3 B5C0 D不存在C解析 因为f(x)35243为一个常数，所以f(x)0.故选C项2函数f(x)x2在x6处的导数为()A2 B3C6 D12D解析 因为f(x)2x，所以f(6)2612.3已知函数f(x)，则f(3)()A B0C DA解析 因为f(x)，所以f(3).故选A项4曲线yx2在x处的切线的倾斜角是()A0 B45C135 D60B解析 因为y2x，所以y|x
2、1，所以k1，所以45.故选B项5已知函数f(x)，且f(1)2，则实数a的值为()A1 B2C D0B解析 因为f(x)(ax21) 2ax，所以f(1)2，所以a2.故选B项6若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3A解析 设函数yf(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具有T性质，则k1k2f(x1)f(x2)1.对于A项，f(x)cos x，显然k1k2
3、cos x1cos x21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B项，f(x)(x0)，显然k1k21无解，故该函数不具有T性质；对于C项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D项，f(x)3x20，显然k1k23x3x1无解，故该函数不具有T性质故选A项二、填空题7曲线yx2在点(1,1)处的切线方程为_解析 因为y(x2)2x，所以y|x12，即所求切线的斜率为2，所以所求切线的方程为y12(x1)，即2xy10.答案 2xy108曲线ysin2x在点A处的切线的斜率是_解析 因为y(sin2x)2sin x(sin x)2sin xcos xsin
4、2x，所以y|xsin，所以曲线在点A处的切线的斜率为.答案 9若f(x)log3(2x1)，则f(2)_.解析 因为f(x)log3(2x1)(2x1)，所以f(2).答案 三、解答题10求下列函数的导数(1)y(2x1)4；(2)y2sin；(3)ylog2x2log2x.解析 (1)令u2x1，则yu4，所以yxyuux4u3(2x1)4u328(2x1)3.(2)因为y2sin2sin2sincossin x，所以y(sin x)cos x.(3)因为ylog2x2log2xlog2x，所以y(log2x).11求证：双曲线y上任意一点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积S为常数证明 设
5、P(x0，y0)是曲线y上任意一点因为y，所以y|xx0，所以切线方程为yy0(xx0)令y0，得xx0xy02x0；令x0，得yy0.所以S|xy|2为常数12已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解析 根据题意可知，与直线xy20平行的抛物线yx2的切线所对应的切点到直线xy20的距离最短设切点坐标为(x0，x)，则y|xx02x01，得x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.四、选做题13有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ys(t)5.求函数在t时的导数，并解释它的实际意义解析 函数y5可以看作函数f(x)5和x(t)259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得f(x)x，(t)18t.再由复合函数求导法则得yts(t)f(x)(t)(18t)，将t代入s(t)，得s0.875(m/s)它表示当t时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.