1、第4课时 利用导数研究不等式恒成立问题授课提示：对应学生用书第295页A组基础保分练1(2021石家庄质量检测)已知函数f(x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)若a1，则f(x)xex2(2x1)即f(x)xexex4，则f(0)3，f(0)2，所以所求切线方程为3xy20.(2)由f(1)0，得a0，则f(x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数F(x)(x0)，则F(x).当0x0；当x1时，F(x)0，所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(
2、1，)上单调递减，所以F(x)maxF(1).于是，解得a.故实数a的取值范围是.2(2021重庆模拟)设函数f(x)exasin x.(1)当a1时，证明：任意x(0，)，f(x)1；(2)若任意x0，)，f(x)0都成立，求实数a的取值范围解析：(1)证明：由a1知f(x)exsin x，当x(0，)时，f(x)excos x0，故f(x)在(0，)上是增函数又f(0)1，故任意x(0，)，f(x)f(0)1，即当a1时，任意x(0，)，f(x)1.(2)当a0时，f(x)ex，符合条件；当a0时，设y1ex与y2asin x在点(x0，y0)处有公切线，则tan x01x0ae，故0ae
3、；当a0时，设y1ex与y2asin x在点(x0，y0)处有公切线，同理可得ea0.综上所述，实数a的取值范围是.B组能力提升练1(2021孝义模拟)已知函数f(x)exsin xcos x，g(x)xcos xex，其中e是自然对数的底数任意x1，存在x2，使得不等式f(x1)g(x2)m成立，试求实数m的取值范围解析：因为不等式f(x1)g(x2)m等价于f(x1)mg(x2)，所以任意x1，存在x2，使得不等式f(x1)g(x2)m成立，等价于f(x1)min(mg(x2)min，即f(x1)minmg(x2)max，当x时，f(x)exsin xexcos xsin x0，故f(x)
4、在区间上单调递增，所以当x0时，f(x)取得最小值1，又g(x)cos xxsin xex，当x时，0cos x1，xsin x0，ex，所以g(x)0，故函数g(x)在区间上单调递减因此，当x0时，g(x)取得最大值，所以1m()，所以m1，所以实数m的取值范围为(，12(2021黄石模拟)已知函数f(x)x3x2，g(x)xln x5.(1)讨论g(x)的单调性；(2)若任意m，n，f(m)g(n)20恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)g(x)ln x1(x0)，令F(x)g(x)，则F(x)(x0)当a0时，F(x)0，所以g(x)单调递增当a0时，g(x)在区间(0，)上单调递减；
5、在区间(，)上单调递增(2)由题意得x时，g(x)minf(x)2max恒成立因为f(x)23x22xx(3x2)，所以当x时，函数yf(x)2单调递减；当x时，函数yf(x)2单调递增又f2f(2)26，所以当x时，f(x)2max6.所以当x时，g(x)minf(x)2max恒成立，可转化为x时，g(x)xln x56恒成立，即ax2ln xx恒成立设h(x)x2ln xx，则h(x)2xln xx1.设(x)h(x)2xln xx1，当x时，(x)2ln x30，可知h(x)在上单调递增，又h(1)0.所以当x时，h(x)0，h(x)单调递减；当x1，2时，h(x)0，h(x)单调递增所
6、以h(x)minh(1)1.所以实数a的取值范围为(，1C组创新应用练设函数f(x)xln xx2ax(aR)(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a2，g(x)22xx2，且当x2时，不等式k(x2)g(x)f(x)，kN恒成立，试求k的最大值解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xax，令f(x)0，则ln xax0，a.令h(x)，则由题意可知直线ya与函数h(x)的图像有两个不同的交点h(x)，令h(x)0，则xe，h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh(e).又h(1)0，h(x)在(0，e)
7、上单调递增，当x0时，h(x)，当xe时，0，h(x)在(e，)上单调递减，当x时，h(x)0，结合h(x)的图像(图略)易得，实数a的取值范围为.(2)当a2时，f(x)xln xx22x.k(x2)g(x)f(x)，即k(x2)22xx2xln xx22x，x2，k.令F(x)(x2)，则F(x).令m(x)x42ln x(x2)，则m(x)10，m(x)在(2，)上单调递增又m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln 1062ln e3660，函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x042ln x00.当2xx0时，m(x)0，即F(x)0，当xx0时，m(x)0，即F(x)0，F(x)minF(x0)，k，x0(8，10)，(4，5)，又kN，k的最大值为4.