1、第十五单元 推理与证明知识体系第三节 数学归纳法(*)基础梳理1.数学归纳法的适用对象 一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当 时结论正确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数 n=k(kN*,且kn0)k+1 典例分析题型一 与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.1111.2 44 66 822241nnnn证明 （
2、1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,成立;1111.2 44 66 822241kkkk当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意nN*都成立.11111.2 44 66 822222242114141241211141242411kkkkk kkkkkkkkkkkkkk学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.举一反三 1.求证:(其中nN*).231111111.1222222nnn 证明：(1)当n=1时,左边 ,右边=
3、,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即 那么当n=k+1时,左边=这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何nN*都成立.1211122231111111.1222222kkk 2311111111111112 11.1112222222222kkkkkkk 右边题型二 用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（nN*）能被9整除.31 71nn 分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除.31 71kk 134 71kk31 71kk 134 71kk证明 设 （1）f(1)=(31+
4、1)7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(kN*)时命题成立，即 (kN*)能被9整除.则 31 71nf nn 31 71kf kk 1134 7131 719 23 7kkkf kf kkkk由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以 能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.9 23 7kk 19 23 7kf kf kk 31 71nf nn举一反三 2.用数学归纳法证明：(nN*)能被x+2整除.13nx证明：（1）当n=1时，1-(3
5、+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时，能被x+2整除,则可设 =(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意nN*,1-(3+x)n能被x+2整除.13kx13kx 23xx f x 1313313121323223213kkxxxxxf xxxx f xxxx f xxx f x 题型三 用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n2,nN*).分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.1115.1236nnn证明 （1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立，即 成立,则当n=k+1时,
6、所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.111157534566061115.1236kkk111111.111233132331111111.123313233151111511536313233163316kkkkkkkkkkkkkkkkkkk学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.举一反三 3.求证：(nN*).111.11231nnn证明：（1）当n=1时，左边=,n=1时不等式成立.（2）假设n=k(kN*)时原不等式成立,即 则当n=k+1时,左边=1111
7、111311 1121 323412111.11231kkk111111.23313233341111111.12313233341111113233341kkkkkkkkkkkkkkkkk 左边1,n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.11112032333413 32341kkkkkkk题型四 用数学归纳法证明有关数列问题【例4】(14分)在数列an中，,当nN*时满足 ,且设 .求证：各项均为3的倍数.121aa21nnnaaa4nnba nb分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意 是由递推关系给出的.na证明 （1）,.2 当
8、n=1时，能被3整除6（2）假设n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时,.10 由归纳假设，是3的倍数，故可知 是3的倍数.当n=k+1时命题成立.12 综合（1）（2）知，对任意nN*，数列 各项都是3的倍数.14 121aa3122aaa4323aaa143ba1b1444342424141441414414414232kkkkkkkkkkkkkkkbaaaaaaaaaaaaaa4ka1kb nb学后反思 在证n=k+1时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.41ka4ka举一反三 4.是等比数列,公比为
9、q.求证：对于一切nN*都成立.11nnaa q na证明：（1）当n=1时，,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即 .则当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切nN*都成立.1 101111aa qa qa11kkaa q 1111111kkkkkaa qa qqa qa q 易错警示【例】已知 (nN*).用数学归纳法证明 时，=.1111.23f nn 22nnf122kkff错解 111222kkkff错解分析 中共有n项相加,中应有 项相加，中应有 项相加,中应有 项.1111.23f nn 2kf2k12kf12k122kkff1
10、22kk 正解 1111122.21222kkkkkff考点演练10.用数学归纳法证明等式:(nN*),则从n=k到n=k+1时,求左边应添加的项.4221 23.2nnn 解析:n=k时,等式左边=;n=k+1时,等式左边=比较上述两个式子,n=k+1时,等式左边是在假设n=k时等式成立的基础上,等式的左边加上了 21 23.k 22221 23.12.1kkkk 22212.1kkk11.用数学归纳法证明:(nN*)能被9整除.33312nnn证明:(1)当n=1时,36能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k时,命题成立,即 能被9整除;当n=k+1时 由归纳假设,上式中的两部分都能被9整除,故当n=k+1时命题也成立.由(1)、(2)可知,对任何nN*命题都成立.33311 11 23633312kkk333333223333212312333 3312933kkkkkkkkkkkkk12.用数学归纳法证明:当n是不小于5的自然数时,总有 成立.22nn证明:(1)当n=5时,结论成立.(2)假设当n=k(kN*,k5)时,结论成立,即 .那么当n=k+1时,左边=右边,也就是说,当n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)可知,不等式 对nN*,n5恒成立.522522kk212222222 22121112121kkkkkkkkkk 22nn