1、考点一抛物线的定义及其标准方程1(2015陕西，3)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1，0) B(1，0) C(0，1) D(0，1)解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为，故选B.答案B2(2014新课标全国，10)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8解析由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.答案A3(2013四川，5)抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2 B2
2、C. D1解析抛物线y28x的焦点(2，0)到直线xy0的距离是1.答案D4(2013新课标全国，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4解析利用|PF|xP4，可得xP3.yP2.SPOF|OF|yP|2.故选C.答案C5(2014上海，4)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_解析c2954，c2.椭圆1的右焦点为(2，0)，2，即抛物线的准线方程为x2.答案x26(2014湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P
3、(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1，0)，斜率为k的直线为yk(x1)由得ky24y4k0.当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或k0，n0，则(m2，m)，(n2，n)，m2n2mn2，解得mn1(舍)或mn2.lAB：(m2n2)(yn)(mn)(xn2)，即(mn)(yn)xn2，令y0，解得xmn2，C(2，0)SAOBSAOCSBOC2m2(n)mn，SAOFmm，则SAOBSAOFmnmmnm23，当且仅当m，
4、即m时等号成立故ABO与AFO面积之和的最小值为3.答案B5(2014辽宁，8)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1 C D解析由点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2，0)，kAF，故选C.答案C6(2012四川，9)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2 B2 C4 D2解析由抛物线定义知，23，所以p2，抛物线方程为y24x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y8，于是|OM|2.故选B.答案B7(2011新课标全国，9
5、)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48解析设抛物线方程为y22px(p0)，则点F(，0)，令x，则y6，即36p2，得p6，y212x，点P到直线AB的距离为p6，SABP|AB|p12636.答案C8(2011山东，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0，2) B0，2C(2，) D2，)解析根据抛物线的定义可知|FM|y02，又由圆与准线相交可得y024，即y0
6、2，故选C.答案C9(2015福建，19)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，所以kGA，kGB
7、.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二(1)同法一(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切10(2014浙江，22)已知ABP的三
8、个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k，2k2m)由3，得(x0，1y0)3(2k，2k2m1)，所以由x4y0得k2m.由0，k20，得m.又因为|AB|4，
9、点F(0，1)到直线AB的距离为d.所以SABP4SABF8|m1| .记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又ff.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.11(2013福建，20)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径解(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d2，又|CO|，所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为或.从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.