1、5.立体几何 第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点要点回扣 易错警示 查缺补漏 要点回扣 1.空间几何体表面积和体积的求法 几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法.问题1 底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为_.答案 1233 3解析 2.空间平行问题的转化关系 平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等.123答案 问题2 下列命题正确的是_.(填序号)如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面；如果直线a和平面满足
2、a，那么a与内的任何直线平行；如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab；如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么b.1233.空间垂直问题的转化关系 垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等.问题3 已知两个平面垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；面面垂直的判定 面面垂直 线面 垂直 线线 垂直 线面垂直的判定 线面垂直的定义 面面垂直的性质 123答案 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另
3、一个平面.其中正确命题的个数是_.1123易错警示 易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积.解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积.例1 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积.易错点1 旋转体辨识不清解答 易错分析 易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提a，a，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误.如中忽视已知条
4、件中的a，误以为该项错误等.例2 设a，b为两条直线，为两个平面，且a，a，则下列结论中正确的个数为_.若b，ab，则a；若a，则a；若ab，b，则a.答案 解析 易错点2 线面关系把握不准3易错分析 例3 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.(1)求证：EF平面ABC1D1；易错点3 线面关系论证不严谨证明 EFD1B，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1证明连结BD1，如图所示.在DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则 EF平面ABC1D1.(2)求证：EFB1C.易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格
5、按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题.证明 易错分析 查缺补漏 1.已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是_.(填上所有正确命题的序号)若，m，则m；若m，n，则mn；若，n，mn，则m；若n，n，m，则m.答案 解析 123456789102.(2017江苏南通中学期中)已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为_.所以 V13r2h132 62 63.则r22，rl4，解得 r 2，l2 2，答案 解析 2 63 所以高 hl2r2 6，解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，123456789103.(2017江苏新海中学期中)将斜边
6、长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是_.答案 解析 163几何体的体积 V21342163.解析 等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2.旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体.圆锥的底面半径为2，高为2.1234567891013123233(cm3).解析 11A B D DV 131AD DSB1A111BAD DV4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则三棱锥AB1D1D的体积为_ cm3.答案 解析 1312ADD1DB1A1312345678910解析 由题意可得正四棱锥的高为 2，体积为13(2
7、3)228，所以正方体的体积为 8，所以棱长为 2.5.设一个正方体与底面边长为侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.答案 解析 2 3，102123456789106.，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的序号)答案 解析 解析 当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.123456789107.将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半
8、径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_.答案 解析 解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为53，103，5，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则 r156，r253，r352，所以 r1r2r35653525.5123456789108.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AA11 cm，则三棱锥D1A1BD的体积为_ cm3.答案 解析 32123456789109.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OPOC，PAPD.求证：(1)直线PA平面BDE；证明 12345678910(2)平面BDE平面PCD.证明
9、 证明 因为OEPA，PAPD，所以OEPD.因为OPOC，E为PC的中点，所以OEPC.又PD平面PCD，PC平面PCD，PCPDP，所以OE平面PCD.因为OE平面BDE，所以平面BDE平面PCD.12345678910证明 连结OM，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以OMPB，又OM平面AMC，PB平面AMC，所以PB平面AMC.10.(2017江苏江阴市调研)如图，在四棱锥PABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMC.(1)求证：PB平面AMC；证明 12345678910(2)求证：平面PBD平面AMC.证明 证明 在菱形ABCD中，ACBD，且O为AC的中点，又MAMC，故ACOM，而OMBDO，OM，BD平面PBD，所以AC平面PBD，又AC平面AMC，所以平面PBD平面AMC.12345678910